Квантовые финансы - Quantum finance

Квантовые финансы - это междисциплинарная область исследований, в которой применяются теории и методы, разработанные квантовыми физиками и экономистами для решения финансовых проблем. Это раздел эконофизики .

Справочная информация о ценообразовании на инструменты

Теория финансов во многом основана на ценообразовании финансовых инструментов, таких как ценообразование опционов на акции . Многие проблемы, с которыми сталкивается финансовое сообщество, не имеют известного аналитического решения. В результате численные методы и компьютерное моделирование для решения этих проблем получили распространение. Эта область исследований известна как вычислительные финансы . Многие вычислительные финансовые проблемы имеют высокую степень вычислительной сложности и медленно сходятся к решению на классических компьютерах. В частности, когда дело доходит до ценообразования опционов, возникает дополнительная сложность, связанная с необходимостью реагировать на быстро меняющиеся рынки. Например, чтобы воспользоваться преимуществами опционов на акции с неточной оценкой, расчет должен завершиться до следующего изменения на почти постоянно меняющемся фондовом рынке. В результате финансовое сообщество всегда ищет способы преодолеть возникающие проблемы с производительностью, возникающие при ценообразовании. Это привело к исследованиям, в которых к финансам применяются альтернативные вычислительные методы.

Справочная информация о квантовых финансах

Одна из этих альтернатив - квантовые вычисления . Так же, как модели физики превратились из классических в квантовые, произошли и вычисления. Было показано, что квантовые компьютеры превосходят классические компьютеры, когда дело касается моделирования квантовой механики, а также некоторых других алгоритмов, таких как алгоритм факторизации Шора и алгоритм квантового поиска Гровера , что делает их привлекательной областью для исследований для решения вычислительных финансовых проблем.

Квантовая непрерывная модель

Большинство исследований ценообразования квантовых опционов обычно фокусируется на квантовании классического уравнения Блэка – Шоулза – Мертона с точки зрения непрерывных уравнений, таких как уравнение Шредингера . Haven опирается на работы Чена и других, но рассматривает рынок с точки зрения уравнения Шредингера . Ключевой посыл в работе Хейвена состоит в том, что уравнение Блэка – Шоулза – Мертона на самом деле является частным случаем уравнения Шредингера, в котором предполагается, что рынки эффективны. Уравнение на основе Шредингера, которое выводит Хейвен, имеет параметр ħ (не путать с комплексным сопряжением h), который представляет величину арбитража, присутствующего на рынке в результате различных источников, включая бесконечно быстрые изменения цен, не бесконечно быстрое распространение информации и неравное благосостояние трейдеров. Хейвен утверждает, что, правильно установив это значение, можно получить более точную цену опциона, потому что в действительности рынки не являются действительно эффективными.

Это одна из причин, почему модель ценообразования квантовых опционов может быть более точной, чем классическая. Бааки опубликовал множество работ по квантовым финансам и даже написал книгу, в которой многие из них собраны вместе. Ядром исследований Баки и других исследователей, таких как Матач, являются интегралы по траекториям Фейнмана.

Бааки применяет интегралы по путям к нескольким экзотическим вариантам и представляет аналитические результаты, сравнивая свои результаты с результатами уравнения Блэка – Шоулза – Мертона, показывая, что они очень похожи. Piotrowski et al. воспользуйтесь другим подходом, изменив предположение Блэка – Скоулза – Мертона относительно поведения акций, лежащих в основе опциона. Вместо предположения, что он следует процессу Винера – Башелье , они предполагают, что он следует процессу Орнштейна – Уленбека . С учетом этого нового предположения они выводят модель квантового финансирования, а также формулу европейского колл-опциона.

Другие модели, такие как Халл – Уайт и Кокс – Ингерсолл – Росс, успешно использовали тот же подход в классических условиях с производными процентной ставки. Хренников опирается на работы Хейвена и других и далее поддерживает идею о том, что предположение о рыночной эффективности, сделанное уравнением Блэка – Шоулза – Мертона, может быть неуместным. Чтобы поддержать эту идею, Хренников опирается на структуру контекстных вероятностей, используя агентов как способ преодоления критики применения квантовой теории к финансам. Аккарди и Букас снова квантуют уравнение Блэка – Шоулза – Мертона, но в этом случае они также считают, что лежащий в основе фонд имеет как броуновский, так и пуассоновский процессы.

Квантовая биномиальная модель

В 2001 году Чен опубликовал статью, в которой представил квантовую биномиальную модель ценообразования или просто сокращенно квантовую биномиальную модель. Образно говоря, квантово-биномиальная модель ценообразования опционов Чена (далее именуемая квантовой биномиальной моделью) для существующих моделей квантовых финансов является тем же, чем классическая биномиальная модель ценообразования опционов Кокса – Росса – Рубинштейна для модели Блэка – Шоулза – Мертона: дискретизированная и дискретная модель ценообразования. более простая версия того же результата. Эти упрощения не только упрощают анализ соответствующих теорий, но и упрощают их реализацию на компьютере.

Многоступенчатая квантовая биномиальная модель

В многоэтапной модели квантовая формула ценообразования выглядит так:

${\displaystyle C_{0}^{N}=\mathrm {tr} [(\bigotimes _{j=1}^{N}\rho _{j}){[S_{N}-K]}^{+}]}$

который является эквивалентом следующей формулы биномиальной модели ценообразования опционов Кокса – Росса – Рубинштейна :

${\displaystyle C_{0}^{N}=(1+r)^{-N}\sum _{n=0}^{N}{\frac {N!}{n!(N-n)!}}q^{n}{(1-q)}^{N-n}{[S_{0}{(1+b)}^{n}{(1+a)}^{N-n}-K]}^{+}}$

Это показывает, что если предположить, что поведение акций соответствует классической статистике Максвелла – Больцмана, квантовая биномиальная модель действительно коллапсирует до классической биномиальной модели.

Квантовая волатильность по Мейеру выглядит следующим образом:

${\displaystyle \sigma ={\frac {\ln {(1+x_{0}+{\sqrt {x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}}})}}{\sqrt {1/t}}}}$

Предположение Бозе – Эйнштейна

Статистику Максвелла – Больцмана можно заменить квантовой статистикой Бозе – Эйнштейна, что приведет к следующей формуле цены опциона:

${\displaystyle C_{0}^{N}=(1+r)^{-N}\sum _{n=0}^{N}\left({\frac {q^{n}{(1-q)}^{N-n}}{\sum _{k=0}^{N}q^{k}{(1-q)}^{N-k}}}\right){[S_{0}{(1+b)}^{n}{(1+a)}^{N-n}-K]}^{+}}$

Уравнение Бозе-Эйнштейна дает цены опционов, которые при определенных обстоятельствах будут отличаться от цен, рассчитанных по формуле ценообразования опционов Кокса-Росса-Рубинштейна. Это связано с тем, что акция рассматривается как квантовая бозонная частица, а не как классическая частица.

Квантовый алгоритм ценообразования производных финансовых инструментов

Ребентрост показал в 2018 году, что существует алгоритм для квантовых компьютеров, способный оценивать производные финансовые инструменты с преимуществом квадратного корня по сравнению с классическими методами. Эта разработка знаменует собой переход от использования квантовой механики для понимания финансовых вычислений к использованию квантовых систем - квантовых компьютеров для выполнения этих вычислений.

использованная литература

внешние ссылки

• Квантовые финансы