Позиционный угол - Position angle

Иллюстрация того, как оценивается позиционный угол через окуляр телескопа; главная звезда находится в центре.

В астрономии , угловое положение (обычно сокращенно ПА ) является соглашением для измерения углов на небе. Международный астрономический союз определяет его как угол , измеряемый по отношению к северу небесного полюса (ПНК), превращающей плюсовой в направлении прямого восхождения . На стандартных (не перевернутых) изображениях это измерение против часовой стрелки относительно оси в направлении положительного склонения .

В случае наблюдаемых визуальных двойных звезд он определяется как угловое смещение вторичной звезды от первичной относительно северного полюса мира .

Как показывает пример, если бы кто-то наблюдал гипотетическую двойную звезду с PA 135 °, это означает, что воображаемая линия в окуляре, проведенная от северного небесного полюса к главному полюсу (P), будет смещена от вторичного полюса (S), так что что угол NCP-PS будет 135 °.

При построении визуальных двоичных файлов NCP, как показано на рисунке, обычно проводится от центральной точки (исходной точки) вниз, то есть с севером внизу, а PA измеряется против часовой стрелки. Кроме того, направление собственного движения может быть задано, например, его позиционным углом.

Определение позиционного угла также применяется к протяженным объектам, таким как галактики, где он относится к углу между большой осью объекта и линией NCP.

Морское дело

Концепция позиционного угла унаследована от морской навигации по океанам, где оптимальный курс по компасу - это курс от известной позиции s до целевой позиции t с минимальными усилиями. Если не учитывать влияние ветра и океанских течений, оптимальным курсом является минимальное расстояние между двумя точками на поверхности океана. Вычислительный компас курса известен как обратная задача о геодезических .

В этой статье рассматривается только абстракция минимизации расстояния между s и t, движущимися по поверхности сферы с некоторым радиусом R : в каком направлении, под углом p относительно севера, корабль должен повернуть, чтобы достичь целевой позиции?

Глобальная геоцентрическая система координат

Позиционный угол точки t в точке s - это угол, под которым зеленые и пунктирные большие круги пересекаются в точке s . Единичные направления u _E , u _N и ось вращения ω отмечены стрелками.

Детальная оценка оптимального направления возможна, если морская поверхность аппроксимируется поверхностью шара. Стандартное вычисление помещает корабль на геодезическую широту φ _s и геодезическую долготу λ _s , где φ считается положительным, если к северу от экватора, и где λ считается положительным, если к востоку от Гринвича . В глобальной системе координат с центром в центре сферы декартовы компоненты равны

${\ displaystyle {\ mathbf {s}} = R \ left ({\ begin {array} {c} \ cos \ varphi _ {s} \ cos \ lambda _ {s} \\\ cos \ varphi _ {s} \ sin \ lambda _ {s} \\\ sin \ varphi _ {s} \ end {array}} \ right)}$

и целевая позиция

${\ displaystyle {\ mathbf {t}} = R \ left ({\ begin {array} {c} \ cos \ varphi _ {t} \ cos \ lambda _ {t} \\\ cos \ varphi _ {t} \ sin \ lambda _ {t} \\\ sin \ varphi _ {t} \ end {array}} \ right).}$

Северный полюс находится на

${\ displaystyle {\ mathbf {N}} = R \ left ({\ begin {array} {c} 0 \\ 0 \\ 1 \ end {array}} \ right).}$

Минимальное расстояние d расстояние вдоль большого круга , который проходит через е и т . Он рассчитывается на плоскости, содержащей центр сферы и большой круг ,

${\ Displaystyle d_ {s, t} = R \ theta _ {s, t}}$

где θ - угловое расстояние между двумя точками, если смотреть из центра сферы, измеренное в радианах . Косинус угла рассчитывается как скалярное произведение двух векторов

${\ displaystyle \ mathbf {s} \ cdot \ mathbf {t} = R ^ {2} \ cos \ theta _ {s, t} = R ^ {2} (\ sin \ varphi _ {s} \ sin \ varphi _ {t} + \ cos \ varphi _ {s} \ cos \ varphi _ {t} \ cos (\ lambda _ {t} - \ lambda _ {s}))}$

Если судно направляется прямо к Северному полюсу, пройденное расстояние составит

${\ Displaystyle d_ {s, N} = R \ theta _ {s, N} = R (\ pi / 2- \ varphi _ {s})}$

Если корабль стартует в точке t и плывет прямо к Северному полюсу, пройденное расстояние составит

${\ displaystyle d_ {t, N} = R \ theta _ {t, n} = R (\ pi / 2- \ varphi _ {t})}$

Краткий вывод

Косинусного формула из сферических тригонометрические дает для угла р между большими кругами через S , что указывает на север , с одной стороны , и т с другой стороны

${\ displaystyle \ cos \ theta _ {t, N} = \ cos \ theta _ {s, t} \ cos \ theta _ {s, N} + \ sin \ theta _ {s, t} \ sin \ theta _ {s, N} \ cos p.}$

${\ displaystyle \ sin \ varphi _ {t} = \ cos \ theta _ {s, t} \ sin \ varphi _ {s} + \ sin \ theta _ {s, t} \ cos \ varphi _ {s} \ cos p.}$

Формула синуса дает

${\ displaystyle {\ frac {\ sin p} {\ sin \ theta _ {t, N}}} = {\ frac {\ sin (\ lambda _ {t} - \ lambda _ {s})} {\ sin \ theta _ {s, t}}}.}$

Решение этого для sin θ _{s, t} и вставка в предыдущую формулу дает выражение для тангенса позиционного угла:

${\ displaystyle \ sin \ varphi _ {t} = \ cos \ theta _ {s, t} \ sin \ varphi _ {s} + {\ frac {\ sin (\ lambda _ {t} - \ lambda _ {s })} {\ sin p}} \ cos \ varphi _ {t} \ cos \ varphi _ {s} \ cos p;}$

${\ displaystyle \ tan p = {\ frac {\ sin (\ lambda _ {t} - \ lambda _ {s}) \ cos \ varphi _ {t} \ cos \ varphi _ {s}} {\ sin \ varphi _ {t} - \ cos \ theta _ {s, t} \ sin \ varphi _ {s}}}.}$

Длинные производные

Поскольку краткий вывод дает угол между 0 и π, который не показывает знак (к западу или востоку от севера?), Желателен более явный вывод, который дает отдельно синус и косинус p , так что использование правильной ветви арктангенс позволяет получить угол в полном диапазоне -π≤p≤π .

Вычисление начинается с построения большого круга между s и t . Он лежит в плоскости, содержащей центр сферы, s и t, и построен с поворотом s на угол θ _{s, t} вокруг оси ω . Ось перпендикулярна плоскости большого круга и вычисляется с помощью нормализованного векторного векторного произведения двух положений:

${\ displaystyle \ mathbf {\ omega} = {\ frac {1} {R ^ {2} \ sin \ theta _ {s, t}}} \ mathbf {s} \ times \ mathbf {t} = {\ frac {1} {\ sin \ theta _ {s, t}}} \ left ({\ begin {array} {c} \ cos \ varphi _ {s} \ sin \ lambda _ {s} \ sin \ varphi _ { t} - \ sin \ varphi _ {s} \ cos \ varphi _ {t} \ sin \ lambda _ {t} \\\ sin \ varphi _ {s} \ cos \ lambda _ {t} \ cos \ varphi _ {t} - \ cos \ varphi _ {s} \ sin \ varphi _ {t} \ cos \ lambda _ {s} \\\ cos \ varphi _ {s} \ cos \ varphi _ {t} \ sin (\ lambda _ {t} - \ lambda _ {s}) \ end {array}} \ right).}$

Правосторонняя наклонная система координат с центром в центре сферы задается следующими тремя осями: осью s , осью

${\ displaystyle \ mathbf {s} _ {\ perp} = \ omega \ times {\ frac {1} {R}} \ mathbf {s} = {\ frac {1} {\ sin \ theta _ {s, t }}} \ left ({\ begin {array} {c} \ cos \ varphi _ {t} \ cos \ lambda _ {t} (\ sin ^ {2} \ varphi _ {s} + \ cos ^ {2 } \ varphi _ {s} \ sin ^ {2} \ lambda _ {s}) - \ cos \ lambda _ {s} (\ sin \ varphi _ {s} \ cos \ varphi _ {s} \ sin \ varphi _ {t} + \ cos ^ {2} \ varphi _ {s} \ sin \ lambda _ {s} \ cos \ varphi _ {t} \ sin \ lambda _ {t}) \\\ cos \ varphi _ { t} \ sin \ lambda _ {t} (\ sin ^ {2} \ varphi _ {s} + \ cos ^ {2} \ varphi _ {s} \ cos ^ {2} \ lambda _ {s}) - \ sin \ lambda _ {s} (\ sin \ varphi _ {s} \ cos \ varphi _ {s} \ sin \ varphi _ {t} + \ cos ^ {2} \ varphi _ {s} \ cos \ lambda _ {s} \ cos \ varphi _ {t} \ cos \ lambda _ {t}) \\\ cos \ varphi _ {s} [\ cos \ varphi _ {s} \ sin \ varphi _ {t} - \ sin \ varphi _ {s} \ cos \ varphi _ {t} \ cos (\ lambda _ {t} - \ lambda _ {s})] \ end {array}} \ right)}$

и ось ω . Позиция по большому кругу

${\ displaystyle \ mathbf {s} (\ theta) = \ cos \ theta \ mathbf {s} + \ sin \ theta \ mathbf {s} _ {\ perp}, \ quad 0 \ leq \ theta \ leq 2 \ pi .}$

Направление компаса задается путем вставки двух векторов s и s _⊥ и вычисления градиента вектора относительно θ при θ = 0 .

${\ displaystyle {\ frac {\ partial} {\ partial \ theta}} \ mathbf {s} _ {\ mid \ theta = 0} = \ mathbf {s} _ {\ perp}.}$

Угол p задается разделением этого направления вдоль двух ортогональных направлений в плоскости, касательной к сфере в точке s . Два направления задаются частными производными s по φ и по λ , нормированными на единицу длины:

${\ displaystyle \ mathbf {u} _ {N} = \ left ({\ begin {array} {c} - \ sin \ varphi _ {s} \ cos \ lambda _ {s} \\ - \ sin \ varphi _ {s} \ sin \ lambda _ {s} \\\ cos \ varphi _ {s} \ end {array}} \ right);}$

${\ displaystyle \ mathbf {u} _ {E} = \ left ({\ begin {array} {c} - \ sin \ lambda _ {s} \\\ cos \ lambda _ {s} \\ 0 \ end { массив}} \ right);}$

${\ Displaystyle \ mathbf {u} _ {N} \ cdot \ mathbf {s} = \ mathbf {u} _ {E} \ cdot \ mathbf {u} _ {N} = 0}$

u _N указывает на север, а u _E указывает на восток в позиции s . Позиционный угол р ПРОЕКТАХ S _⊥ в этих двух направлениях,

${\ displaystyle \ mathbf {s} _ {\ perp} = \ cos p \, \ mathbf {u} _ {N} + \ sin p \, \ mathbf {u} _ {E}}$,

где положительный знак означает, что положительные позиционные углы определены как север над востоком. Значения косинуса и синуса p вычисляются путем умножения этого уравнения с обеих сторон на два единичных вектора,

${\ displaystyle \ cos p = \ mathbf {s} _ {\ perp} \ cdot \ mathbf {u} _ {N} = {\ frac {1} {\ sin \ theta _ {s, t}}} [\ cos \ varphi _ {s} \ sin \ varphi _ {t} - \ sin \ varphi _ {s} \ cos \ varphi _ {t} \ cos (\ lambda _ {t} - \ lambda _ {s})] ;}$

${\ displaystyle \ sin p = \ mathbf {s} _ {\ perp} \ cdot \ mathbf {u} _ {E} = {\ frac {1} {\ sin \ theta _ {s, t}}} [\ cos \ varphi _ {t} \ sin (\ lambda _ {t} - \ lambda _ {s})].}$

Вместо того , чтобы вставить запутанные выражение с _⊥ , оценка может использовать , что тройное произведение инвариантно относительно циклического сдвига аргументов:

${\ displaystyle \ cos p = (\ mathbf {\ omega} \ times {\ frac {1} {R}} \ mathbf {s}) \ cdot \ mathbf {u} _ {N} = \ omega \ cdot ({ \ frac {1} {R}} \ mathbf {s} \ times \ mathbf {u} _ {N}).}$

Если для вычисления значения используется atan2 , можно уменьшить оба выражения путем деления на cos φ _t и умножения на sin θ _{s, t} , потому что эти значения всегда положительны и эта операция не меняет знаков; тогда эффективно

${\ displaystyle \ tan p = {\ frac {\ sin (\ lambda _ {t} - \ lambda _ {s})} {\ cos \ varphi _ {s} \ tan \ varphi _ {t} - \ sin \ varphi _ {s} \ cos (\ lambda _ {t} - \ lambda _ {s})}}.}$

Смотрите также

• Параллактический угол
• Угловое расстояние

дальнейшее чтение

• Бирни, Д. Скотт; Гонсалес, Гильермо; Опер, Дэвид (2007). Наблюдательная астрономия . Издательство Кембриджского университета . п. 75. ISBN 978-0-521-85370-5.

использованная литература

внешние ссылки

• Орбиты 150 визуально двойных звезд, Дибон Смит (доступ 26 февраля 2006 г.)