Теорема Пуанкаре – Миранды - Poincaré–Miranda theorem

В математике теорема Пуанкаре – Миранды представляет собой обобщение теоремы о промежуточном значении от одной функции в одномерном измерении до n функций в n измерениях. В нем говорится следующее:

Рассмотрим непрерывные функции переменных . Предположим, что для каждой переменной функция постоянно отрицательна, когда и всегда положительна, когда . Тогда есть точка в -мерном кубе, в которой все функции одновременно равны . ${\ displaystyle n}$${\ displaystyle n}$${\ displaystyle f_ {1}, \ ldots, f_ {n}}$${\ displaystyle x_ {i}}$${\ displaystyle f_ {i}}$${\ displaystyle x_ {i} = - 1}$${\ displaystyle x_ {i} = 1}$${\ displaystyle n}$ ${\ Displaystyle [-1,1] ^ {п}}$${\ displaystyle 0}$

Теорема названа в честь Анри Пуанкаре , который предположил ее в 1883 году, и Карло Миранды , который в 1940 году показал, что она эквивалентна теореме Брауэра о неподвижной точке .

Интуитивное описание

Графическое представление теоремы Пуанкаре – Миранды для n  = 2

На рисунке справа показана иллюстрация теоремы Пуанкаре – Миранды для n  = 2 функций. Рассмотрим пару функций ( f , g ) , область определения которых - квадрат [-1, + 1] ² . Функция f отрицательна на левой границе и положительна на правой границе (зеленые стороны квадрата), в то время как функция g отрицательна на нижней границе и положительна на верхней границе (красные стороны квадрата). Когда мы идем слева направо по любому пути, мы должны пройти через точку, в которой f равно 0 . Следовательно, должна быть «стена», отделяющая левую от правой, вдоль которой f равно 0 (зеленая кривая внутри квадрата). Точно так же должна быть «стена», отделяющая верх от низа, вдоль которой g равно 0 (красная кривая внутри квадрата). Эти стены должны пересекаться в точке, в которой обе функции равны 0 (синяя точка внутри квадрата).

Обобщения

Простейшим обобщением, а по сути следствием этой теоремы, является следующее. Для каждой переменной x _i пусть a _i будет любым значением в диапазоне [sup _{x i  = 0}   f _i , inf _{x i  = 1}   f _i ] . Тогда в единичном кубе есть точка, в которой для всех i :

${\ displaystyle f_ {i} = a_ {i}}$ .

Это утверждение можно свести к исходному простым переводом осей ,

${\ displaystyle x_ {i} ^ {\ prime} = x_ {i} \ qquad y_ {i} ^ {\ prime} = y_ {i} -a_ {i} \ qquad \ forall i \ in \ {1, \ точки, n \}}$

где

• x _i - координаты в области определения функции
• y _i - координаты в области определения функции.

Ноты

Рекомендации

• Дугунджи, Джеймс ; Гранас, Анджей (2003), Теория неподвижной точки , Монографии Springer по математике, Нью-Йорк: Springer-Verlag , стр. Xv + 690, ISBN   0-387-00173-5 , MR   1987179 , Zbl   1025.47002
• Kulpa, Wladyslaw (июнь 1997), "Пуанкаре-Miranda теорема", Американский Математический Месячный , 104 (6): 545-550, DOI : 10,2307 / 2975081 , JSTOR   2975081 , MR   1453657 , Zbl   0891,47040 .
• Миранда, Карло (1940), "Un'osservazione су ип Teorema ди Браувер", Bollettino dell'Unione Matematica Italiana , Серия 2 (на итальянском), 3 : 5-7, СУЛ   66.0217.01 , МР   0004775 , Zbl   +0024,02203 .

внешние ссылки

• Альбах, Коннор Томас (2013). «Дискретный подход к теореме Пуанкаре – Миранды (старшие тезисы HMC)» . Дата обращения 18 мая 2015 .