Матрица Плюккера - Plücker matrix

Матрица Плюккерово является специальной кососимметричен 4 × 4 матрицей , которая характеризует прямую в проективном пространстве . Матрица определяется 6 координатами Плюккера с 4 степенями свободы . Он назван в честь немецкого математика Юлиуса Плюкера .

Определение

Прямая линия в пространстве определяется двумя различными точками и в однородных координатах в проективное пространство . Его матрица Плюккера: ${\ displaystyle A = \ left (A_ {0}, A_ {1}, A_ {2}, A_ {3} \ right) ^ {\ top} \ in \ mathbb {R} {\ mathcal {P}} ^ {3}}$${\ displaystyle B = \ left (B_ {0}, B_ {1}, B_ {2}, B_ {3} \ right) ^ {\ top} \ in \ mathbb {R} {\ mathcal {P}} ^ {3}}$

${\ displaystyle [\ mathbf {L}] _ {\ times} \ propto \ mathbf {A} \ mathbf {B} ^ {\ top} - \ mathbf {B} \ mathbf {A} ^ {\ top} = \ left ({\ begin {array} {cccc} 0 & -L_ {01} & - L_ {02} & - L_ {03} \\ L_ {01} & 0 & -L_ {12} & - L_ {13} \\ L_ {02} & L_ {12} & 0 & -L_ {23} \\ L_ {03} & L_ {13} & L_ {23} & 0 \ end {array}} \ right)}$

Где кососимметричная матрица определяется шестью координатами Плюккера${\ displaystyle 4 \ times 4}$

${\ displaystyle \ mathbf {L} \ propto (L_ {01}, L_ {02}, L_ {03}, L_ {12}, L_ {13}, L_ {23}) ^ {\ top}}$

с участием

${\ displaystyle L_ {ij} = A_ {i} B_ {j} -B_ {i} A_ {j}.}$

Координаты Плюккера удовлетворяют соотношениям Грасмана – Плюккера

${\ displaystyle L_ {01} L_ {23} -L_ {02} L_ {13} + L_ {03} L_ {12} = 0}$

и определены в полном масштабе. Матрица Плюккера имеет только ранг  2 и четыре степени свободы (как и линии в ). Они не зависят от конкретного выбора точек и могут рассматриваться как обобщение линейного уравнения, т.е. перекрестного произведения как для пересечения (встречи) двух прямых, так и для линии соединения двух точек в проективной проекции. самолет. ${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {3}}$${\ displaystyle \ mathbf {A}}$${\ displaystyle \ mathbf {B}}$

Свойства

Матрица Плюккера позволяет нам выразить следующие геометрические операции в виде произведения матрицы на вектор:

• Самолет содержит линию: ${\ Displaystyle \ mathbf {0} = [\ mathbf {L}] _ {\ times} \ mathbf {E}}$
• ${\ Displaystyle \ mathbf {X} = [\ mathbf {L}] _ {\ times} \ mathbf {E}}$ это точка пересечения прямой и плоскости («Встреча») ${\ displaystyle \ mathbf {L}}$${\ displaystyle \ mathbf {E}}$
• Точка лежит на линии: ${\ Displaystyle \ mathbf {0} = [{\ тильда {\ mathbf {L}}}] _ {\ times} \ mathbf {X}}$
• ${\ Displaystyle \ mathbf {E} = [{\ тильда {\ mathbf {L}}}] _ {\ times} \ mathbf {X}}$ - общая плоскость , содержащая как точку, так и линию («Соединение»). ${\ displaystyle \ mathbf {E}}$${\ displaystyle \ mathbf {X}}$${\ displaystyle \ mathbf {L}}$
• Направление линии: (Примечание: последнее можно интерпретировать как плоскость, ортогональную линии, проходящей через начало координат) ${\ displaystyle [\ mathbf {L}] _ {\ times} \ pi ^ {\ infty} = [\ mathbf {L}] _ {\ times} (0,0,0,1) ^ {\ top} = \ left (-L_ {03}, - L_ {13}, - L_ {23}, 0 \ right) ^ {\ top}}$
• Ближайшая точка к исходной точке ${\ displaystyle \ mathbf {X} _ {0} \ cong [\ mathbf {L}] _ {\ times} [\ mathbf {L}] _ {\ times} \ pi ^ {\ infty}.}$

Уникальность

Две произвольные различные точки на линии могут быть записаны как линейная комбинация и : ${\ displaystyle \ mathbf {A}}$${\ displaystyle \ mathbf {B}}$

${\ displaystyle \ mathbf {A} ^ {\ prime} \ propto \ mathbf {A} \ alpha + \ mathbf {B} \ beta {\ text {and}} \ mathbf {B} ^ {\ prime} \ propto \ mathbf {A} \ gamma + \ mathbf {B} \ delta.}$

Их матрица Плюккера такова:

${\ displaystyle {\ begin {align} {[} \ mathbf {L} ^ {\ prime} {]} _ {\ times} & = \ mathbf {A} ^ {\ prime} \ mathbf {B} ^ {\ prime} - \ mathbf {B} ^ {\ prime} \ mathbf {A} ^ {\ prime} \\ [6pt] & = (\ mathbf {A} \ alpha + \ mathbf {B} \ beta) (\ mathbf {A} \ gamma + \ mathbf {B} \ delta) ^ {\ top} - (\ mathbf {A} \ gamma + \ mathbf {B} \ delta) (\ mathbf {A} \ alpha + \ mathbf {B } \ beta) ^ {\ top} \\ [6pt] & = \ underbrace {(\ alpha \ delta - \ beta \ gamma)} _ {\ lambda} [\ mathbf {L}] _ {\ times}, \ конец {выровнен}}}$

до масштаба идентично . ${\ displaystyle [\ mathbf {L}] _ {\ times}}$

Пересечение с самолетом

Встреча плоскости и прямой в проективном трехмерном пространстве, выраженная умножением на матрицу Плюккера

Обозначим через плоскость с уравнением ${\ displaystyle \ mathbf {E} = \ left (E_ {0}, E_ {1}, E_ {2}, E_ {3} \ right) ^ {\ top} \ in \ mathbb {R} {\ mathcal { P}} ^ {3}}$

${\ displaystyle E_ {0} x + E_ {1} y + E_ {2} z + E_ {3} = 0.}$

который не содержит строки . Тогда произведение матрица-вектор с матрицей Плюккера описывает точку ${\ displaystyle \ mathbf {L}}$

${\ displaystyle \ mathbf {X} = [\ mathbf {L}] _ {\ times} \ mathbf {E} = \ mathbf {A} {\ underset {\ alpha} {\ underbrace {\ mathbf {B} ^ { \ top} \ mathbf {E}}}} - \ mathbf {B} {\ underset {\ beta} {\ underbrace {\ mathbf {A} ^ {\ top} \ mathbf {E}}}} = \ mathbf { A} \ alpha + \ mathbf {B} \ beta,}$

который лежит на линии, потому что представляет собой линейную комбинацию и . также содержится в плоскости ${\ displaystyle \ mathbf {L}}$${\ displaystyle \ mathbf {A}}$${\ displaystyle \ mathbf {B}}$${\ displaystyle \ mathbf {X}}$${\ displaystyle \ mathbf {E}}$

${\ displaystyle \ mathbf {E} ^ {\ top} \ mathbf {X} = \ mathbf {E} ^ {\ top} [\ mathbf {L}] _ {\ times} \ mathbf {E} = {\ underset {\ alpha} {\ underbrace {\ mathbf {E} ^ {\ top} \ mathbf {A}}}} {\ underset {\ beta} {\ underbrace {\ mathbf {B} ^ {\ top} \ mathbf { E}}}} - {\ underset {\ beta} {\ underbrace {\ mathbf {E} ^ {\ top} \ mathbf {B}}}} {\ underset {\ alpha} {\ underbrace {\ mathbf {A } ^ {\ top} \ mathbf {E}}}} = 0,}$

и поэтому должно быть их точкой пересечения.

Вдобавок произведение матрицы Плюккера на плоскость является нулевым вектором, в точности если линия полностью лежит в плоскости: ${\ displaystyle \ mathbf {L}}$

${\ Displaystyle \ альфа = \ бета = 0 \ iff \ mathbf {E}}$ содержит ${\ displaystyle \ mathbf {L}.}$

Двойная матрица Плюккера

Соединение точки и линии в проективном трехмерном пространстве, выраженное умножением на матрицу Плюккера

В проективном трехпространстве и точки, и плоскости имеют то же представление, что и 4-векторы, и алгебраическое описание их геометрической связи (точка лежит на плоскости) симметрично. Меняя местами термины «плоскость» и «точка» в теореме, можно получить двойственную теорему, которая также верна.

В случае матрицы Плюккера существует двойственное представление прямой в пространстве как пересечения двух плоскостей:

${\ displaystyle E = \ left (E_ {0}, E_ {1}, E_ {2}, E_ {3} \ right) ^ {\ top} \ in \ mathbb {R} {\ mathcal {P}} ^ {3}}$

и

${\ Displaystyle F = \ left (F_ {0}, F_ {1}, F_ {2}, F_ {3} \ right) ^ {\ top} \ in \ mathbb {R} {\ mathcal {P}} ^ {3}}$

в однородных координатах в проективном пространстве . Их матрица Плюккера:

${\ displaystyle \ left [{\ тильда {\ mathbf {L}}} \ right] _ {\ times} = \ mathbf {E} \ mathbf {F} ^ {\ top} - \ mathbf {F} \ mathbf { E} ^ {\ top}}$

и

${\ Displaystyle \ mathbf {G} = \ left [{\ тильда {\ mathbf {L}}} \ right] _ {\ times} \ mathbf {X}}$

описывает плоскость, содержащую как точку, так и линию . ${\ displaystyle \ mathbf {G}}$${\ displaystyle \ mathbf {X}}$${\ displaystyle \ mathbf {L}}$

Связь между прямой и двойственной матрицей Плюккера

Поскольку вектор с произвольной плоскостью является либо нулевым вектором, либо точкой на прямой, он следует: ${\ Displaystyle \ mathbf {X} = [\ mathbf {L}] _ {\ times} \ mathbf {E}}$${\ displaystyle \ mathbf {E}}$

${\ displaystyle \ forall \ mathbf {E} \ in \ mathbb {R} {\ mathcal {P}} ^ {3}: \, \ mathbf {X} = [\ mathbf {L}] _ {\ times} \ mathbf {E} {\ text {лежит на}} \ mathbf {L} \ iff \ left [{\ tilde {\ mathbf {L}}} \ right] _ {\ times} \ mathbf {X} = \ mathbf { 0}.}$

Таким образом:

${\ displaystyle \ left ([{\ tilde {\ mathbf {L}}}] _ {\ times} [\ mathbf {L}] _ {\ times} \ right) ^ {\ top} = [\ mathbf {L }] _ {\ times} \ left [{\ tilde {\ mathbf {L}}} \ right] _ {\ times} = \ mathbf {0} \ in \ mathbb {R} ^ {4 \ times 4}. }$

Следующие продукты обладают этими свойствами:

${\ displaystyle {\ begin {align} & \ left ({\ begin {array} {cccc} 0 & L_ {23} & - L_ {13} & L_ {12} \\ - L_ {23} & 0 & L_ {03} & - L_ {02} \\ L_ {13} & - L_ {03} & 0 & L_ {01} \\ - L_ {12} & L_ {02} & - L_ {01} & 0 \ end {array}} \ right) \ left ({ \ begin {array} {cccc} 0 & -L_ {01} & - L_ {02} & - L_ {03} \\ L_ {01} & 0 & -L_ {12} & - L_ {13} \\ L_ {02} & L_ {12} & 0 & -L_ {23} \\ L_ {03} & L_ {13} & L_ {23} & 0 \ end {array}} \ right) \\ [10pt] = {} & \ left (L_ {01} L_ {23} -L_ {02} L_ {13} + L_ {03} L_ {12} \ right) \ cdot \ left ({\ begin {array} {cccc} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \ конец {массив}} \ right) = \ mathbf {0}, \ end {выравнивается}}}$

в силу соотношения Грассмана – Плюккера . С единственностью матриц Плюккера с точностью до скалярных кратных для прямых координат Плюккера

${\ displaystyle \ mathbf {L} = \ left (L_ {01}, \, L_ {02}, \, L_ {03}, \, L_ {12}, \, L_ {31}, \, L_ {23} } \ right) ^ {\ top}}$

получаем следующие двойственные координаты Плюккера:

${\ displaystyle {\ tilde {\ mathbf {L}}} = \ left (L_ {23}, \, - L_ {13}, \, L_ {12}, \, L_ {03}, \, - L_ { 02}, \, L_ {01} \ right) ^ {\ top}.}$

В проективной плоскости

Двойственность операций соединения и встречи в двумерном пространстве.

«Соединение» двух точек на проективной плоскости - это операция соединения двух точек прямой линией. Его линейное уравнение можно вычислить с помощью векторного произведения :

${\ displaystyle \ mathbf {l} \ propto \ mathbf {a} \ times \ mathbf {b} = \ left ({\ begin {array} {c} a_ {1} b_ {2} -b_ {1} a_ { 2} \\ b_ {0} a_ {2} -a_ {0} b_ {2} \\ a_ {0} b_ {1} -a_ {1} b_ {0} \ end {array}} \ right) = \ left ({\ begin {array} {c} l_ {0} \\ l_ {1} \\ l_ {2} \ end {array}} \ right).}$

Соответственно, можно выразить «встречу» или пересечение двух прямых с помощью перекрестного произведения:

${\ Displaystyle \ mathbf {x} \ propto \ mathbf {l} \ times \ mathbf {m}}$

Связь с матрицами Плюккера становится очевидной, если записать кросс-произведение как произведение матрица-вектор с кососимметричной матрицей:

${\ displaystyle [\ mathbf {l}] _ {\ times} = \ mathbf {a} \ mathbf {b} ^ {\ top} - \ mathbf {b} \ mathbf {a} ^ {\ top} = \ left ({\ begin {array} {ccc} 0 & l_ {2} & - l_ {1} \\ - l_ {2} & 0 & l_ {0} \\ l_ {1} & - l_ {0} & 0 \ end {array}} \правильно)}$

и аналогично ${\ displaystyle [\ mathbf {x}] _ {\ times} = \ mathbf {l} \ mathbf {m} ^ {\ top} - \ mathbf {m} \ mathbf {l} ^ {\ top}}$

Геометрическая интерпретация

Пусть и , тогда мы можем написать ${\ displaystyle \ mathbf {d} = \ left (-L_ {03}, \, - L_ {13}, \, - L_ {23} \ right) ^ {\ top}}$${\ displaystyle \ mathbf {m} = \ left (L_ {12}, \, - L_ {02}, \, L_ {01} \ right) ^ {\ top}}$

${\ displaystyle [\ mathbf {L}] _ {\ times} = \ left ({\ begin {array} {cc} [\ mathbf {m}] _ {\ times} & \ mathbf {d} \\ - \ mathbf {d} & 0 \ end {array}} \ right)}$

и

${\ Displaystyle [{\ тильда {\ mathbf {L}}}] _ {\ times} = \ left ({\ begin {array} {cc} [- \ mathbf {d}] _ {\ times} & \ mathbf {m} \\ - \ mathbf {m} & 0 \ end {array}} \ right),}$

где - смещение, а - момент линии, сравните геометрическую интуицию координат Плюккера . ${\ displaystyle \ mathbf {d}}$${\ displaystyle \ mathbf {m}}$

Рекомендации

• Рихтер-Геберт, Юрген (2011). Перспективы проективной геометрии: экскурсия по реальной и сложной проективной геометрии . Springer Science & Business Media. ISBN   978-3-642-17286-1 .
• Хорхе Стольфи (1991). Ориентированная проективная геометрия: основа для геометрических вычислений . Академическая пресса . ISBN   978-1483247045 .
  Из оригинального Стэнфордского университета 1988 г. диссертация « Примитивы для вычислительной геометрии» , доступная как [1] .
• Блинн, Джеймс Ф. (август 1977 г.). «Однородная формулировка линий в 3-х пространстве». ACM SIGGRAPH Компьютерная графика . 11 (2): 237–241. DOI : 10.1145 / 965141.563900 . ISSN   0097-8930 .