Число пентатопа - Pentatope number
Пентатопа число является числом в пятой ячейке любой строки треугольника Паскаля , начиная с 5-термином строкой 1 4 6 4 1 , либо слева направо или справа налево.
Первые несколько таких чисел:
Номера пентатопов относятся к классу фигурных чисел , которые могут быть представлены как регулярные дискретные геометрические узоры.
Формула
Формула для n- го числа пентатопа представлена 4-м возрастающим факториалом числа n, деленным на факториал 4:
Числа пентатопов также могут быть представлены в виде биномиальных коэффициентов :
который представляет собой количество различных четверок, которые могут быть выбраны из n + 3 объектов, и читается вслух как « n плюс три выбирают четыре».
Характеристики
Два из каждых трех чисел пентатопа также являются пятиугольными числами . Чтобы быть точным, (3 k - 2) -й номер пентатопа всегда равен ( 3 к 2 - к / 2 ) -ое пятиугольное число и (3 k - 1) -е число пентатопа всегда является ( 3 к 2 + к / 2 ) -го пятиугольного числа. (3 к ) е число пентатопа является обобщенным пятиугольным номером , полученным путем принятия отрицательного индекса - 3 к 2 + к / 2 в формуле для пятиугольных чисел. (Эти выражения всегда дают целые числа ).
Бесконечная сумма из обратных всех чисел пентатопа является 4 / 3 . Это может быть получено с помощью телескопической серии .
Числа пентатопов можно представить как сумму первых n тетраэдрических чисел :
а также относятся к самим тетраэдрическим числам:
Никакое простое число не является предшественником числа пентатопа, а наибольшее полупростое число, которое является предшественником числа пентатопа, равно 1819.
Точно так же единственные простые числа, предшествующие 6-симплексному числу, - это 83 и 461.
Тест на числа пентатопа
Мы можем вывести этот тест из формулы для числа n- го пентатопа.
Учитывая положительное целое число x , чтобы проверить, является ли оно числом пентатопа, мы можем вычислить
Число x является пентатопом тогда и только тогда, когда n - натуральное число . В этом случае x - номер n- го пентатопа.
Производящая функция
Производящая функция для чисел пентатопа является
Приложения
В биохимии числа пентатопов представляют собой количество возможных расположений n различных полипептидных субъединиц в тетрамерном (тетраэдрическом) белке.