Порядок следования - Path-ordering

В теоретической физике , путь упорядочение является процедура (или мета-оператор ) , что заказы произведения операторов в соответствии со значением выбранного параметра : ${\ displaystyle {\ mathcal {P}}}$

${\ displaystyle {\ mathcal {P}} \ left \ {O_ {1} (\ sigma _ {1}) O_ {2} (\ sigma _ {2}) \ cdots O_ {N} (\ sigma _ {N }) \ right \} \ Equiv O_ {p_ {1}} (\ sigma _ {p_ {1}}) O_ {p_ {2}} (\ sigma _ {p_ {2}}) \ cdots O_ {p_ { N}} (\ sigma _ {p_ {N}}).}$

Здесь p - перестановка, которая упорядочивает параметры по значению:

${\ Displaystyle p: \ {1,2, \ точки, N \} \ to \ {1,2, \ точки, N \}}$

${\ displaystyle \ sigma _ {p_ {1}} \ leq \ sigma _ {p_ {2}} \ leq \ cdots \ leq \ sigma _ {p_ {N}}.}$

Например:

${\ Displaystyle {\ mathcal {P}} \ left \ {O_ {1} (4) O_ {2} (2) O_ {3} (3) O_ {4} (1) \ right \} = O_ {4 } (1) O_ {2} (2) O_ {3} (3) O_ {1} (4).}$

Примеры

Если оператор выражается не просто как произведение, а как функция другого оператора, мы должны сначала выполнить разложение Тейлора этой функции. Это тот случай , из петли Вильсона , который определен как path- заказал экспоненциальным , чтобы гарантировать , что петля Уилсон кодирует голономию в связи с калибровочным . Параметр σ , определяющий порядок, является параметром, описывающим контур , и поскольку контур замкнут, петля Вильсона должна быть определена как след , чтобы быть калибровочно-инвариантной .

Заказ времени

В квантовой теории поля полезно брать упорядоченное по времени произведение операторов. Эта операция обозначается . (Хотя его часто называют «оператором временного порядка», строго говоря, он не является ни оператором состояний, ни супероператором операторов.) ${\ Displaystyle {\ mathcal {T}}}$${\ Displaystyle {\ mathcal {T}}}$

Для двух операторов A ( x ) и B ( y ), которые зависят от местоположений x и y в пространстве-времени, мы определяем:

${\ Displaystyle {\ mathcal {T}} \ left \ {A (x) B (y) \ right \}: = {\ begin {cases} A (x) B (y) & {\ text {if}} \ tau _ {x}> \ tau _ {y}, \\\ pm B (y) A (x) & {\ text {if}} \ tau _ {x} <\ tau _ {y}. \ end {случаи}}}$

Здесь и обозначим инвариантные скалярные координаты времени точек x и y. ${\ Displaystyle \ тау _ {х}}$${\ displaystyle \ tau _ {y}}$

Явно мы имеем

${\ Displaystyle {\ mathcal {T}} \ влево \ {A (x) B (y) \ right \}: = \ theta (\ tau _ {x} - \ tau _ {y}) A (x) B (y) \ pm \ theta (\ tau _ {y} - \ tau _ {x}) B (y) A (x),}$

где обозначает ступенчатую функцию Хевисайда, а зависит от того, являются ли операторы бозонными или фермионными по своей природе. Если бозонный, то всегда выбирается знак +, если фермионный, то знак будет зависеть от количества замен операторов, необходимых для достижения правильного временного порядка. Обратите внимание, что статистические факторы сюда не входят. ${\ displaystyle \ theta}$${\ displaystyle \ pm}$

Поскольку операторы зависят от своего местоположения в пространстве-времени (то есть не только во времени), эта операция временного упорядочения не зависит от координат только в том случае, если операторы в пространственно разделенных точках коммутируют . Вот почему необходимо использовать вместо , поскольку обычно указывает зависимый от координаты временный индекс точки пространства-времени. Обратите внимание, что порядок времени обычно записывается с аргументом времени, увеличивающимся справа налево. ${\ Displaystyle \ тау}$${\ displaystyle t_ {0}}$${\ displaystyle t_ {0}}$

В общем, для произведения n полевых операторов A ₁ ( t ₁ ),…, A _n ( t _n ) упорядоченное по времени произведение операторов определяется следующим образом:

${\ Displaystyle {\ begin {align} {\ mathcal {T}} \ {A_ {1} (t_ {1}) A_ {2} (t_ {2}) \ cdots A_ {n} (t_ {n}) \} & = \ sum _ {p} \ theta (t_ {p_ {1}}> t_ {p_ {2}}> \ cdots> t_ {p_ {n}}) \ varepsilon (p) A_ {p_ {1 }} (t_ {p_ {1}}) A_ {p_ {2}} (t_ {p_ {2}}) \ cdots A_ {p_ {n}} (t_ {p_ {n}}) \\ & = \ сумма _ {p} \ left (\ prod _ {j = 0} ^ {N-1} \ theta (t_ {p_ {j}} - t_ {p_ {j + 1}}) \ right) \ varepsilon (p ) A_ {p_ {1}} (t_ {p_ {1}}) A_ {p_ {2}} (t_ {p_ {2}}) \ cdots A_ {p_ {n}} (t_ {p_ {n}} ) \ конец {выровнено}}}$

где сумма пробегает все над р» с и над симметрической группой из п степени перестановок и

${\ displaystyle \ varepsilon (p) \ Equiv {\ begin {cases} 1 & {\ text {для бозонных операторов}} \\ {\ text {знак перестановки}} & {\ text {для фермионных операторов.}} \ end {case}}}$

S-матрица в квантовой теории поля является примером временной упорядоченной продукта. S-матрица, преобразующая состояние при t = −∞ в состояние при t = + ∞ , также может рассматриваться как своего рода « голономия », аналогичная петле Вильсона . Мы получаем упорядоченное по времени выражение по следующей причине:

Начнем с этой простой формулы для экспоненты

${\ displaystyle \ exp h = \ lim _ {N \ to \ infty} \ left (1 + {\ frac {h} {N}} \ right) ^ {N}.}$

Теперь рассмотрим дискретизированный оператор эволюции

${\ Displaystyle S = \ cdots (1 + h _ {+ 3}) (1 + h _ {+ 2}) (1 + h _ {+ 1}) (1 + h_ {0}) (1 + h _ {- 1} ) (1 + h _ {- 2}) \ cdots}$

где - оператор эволюции на бесконечно малом интервале времени . Членами более высокого порядка в пределе можно пренебречь . Оператор определяется как ${\ displaystyle 1 + h_ {j}}$${\ Displaystyle [j \ varepsilon, (j + 1) \ varepsilon]}$${\ displaystyle \ varepsilon \ to 0}$${\ displaystyle h_ {j}}$

${\ displaystyle h_ {j} = {\ frac {1} {i \ hbar}} \ int _ {j \ varepsilon} ^ {(j + 1) \ varepsilon} \, dt \ int d ^ {3} x \ , H ({\ vec {x}}, t).}$

Обратите внимание, что операторы эволюции за «прошлые» временные интервалы появляются в правой части продукта. Мы видим, что формула аналогична указанному выше тождеству, которому удовлетворяет экспонента, и мы можем написать

${\ Displaystyle S = {\ mathcal {T}} \ exp \ left (\ sum _ {j = - \ infty} ^ {\ infty} h_ {j} \ right) = {\ mathcal {T}} \ exp \ left (\ int dt \, d ^ {3} x \, {\ frac {H ({\ vec {x}}, t)} {i \ hbar}} \ right).}$

Единственная тонкость, которую нам пришлось включить, - это оператор упорядочения по времени, потому что факторы в продукте, определяющем S, также были упорядочены по времени (и операторы обычно не коммутируют), и оператор гарантирует, что этот порядок будет сохранен. ${\ Displaystyle {\ mathcal {T}}}$${\ Displaystyle {\ mathcal {T}}}$

Смотрите также

• Упорядоченная экспонента (по сути, та же концепция)
• Калибровочная теория
• S-матрица

использованная литература