Теорема О'Нана – Скотта - O'Nan–Scott theorem

В математике теорема О'Нана – Скотта - одна из самых влиятельных теорем теории групп перестановок ; классификация конечных простых групп - вот что делает ее такой полезной. Первоначально теорема была о максимальных подгруппах в симметрической группе . Он появился как приложение к статье Леонарда Скотта, написанной для Санта-Крусской конференции по конечным группам в 1979 году, с примечанием, что Майкл О'Нан независимо доказал тот же результат. Позже Майкл Ашбахер и Скотт дали исправленную версию формулировки теоремы.

Теорема утверждает, что максимальная подгруппа симметрической группы Sym (Ω), где | Ω | = n , является одним из следующих:

  1. S k × S n − k стабилизатор k -множества (т. Е. Нетранзитивного)
  2. S a wr S b с n = ab, стабилизатор разбиения на b частей размера a (то есть импримитивный)
  3. примитивный (то есть не сохраняет нетривиальное разбиение) и одного из следующих типов:

В обзорной статье, написанной для Бюллетеня Лондонского математического общества , Питер Дж. Кэмерон, кажется, был первым, кто осознал, что реальная сила теоремы О'Нана – Скотта заключается в способности разбивать конечные примитивные группы на различные группы. типы. Полная версия теоремы с автономным доказательством была дана М. В. Либеком , Шерил Прегер и Яном Сакслом . Теорема теперь является стандартной частью учебников по группам подстановок.

Типы О'Нана – Скотта

Вот восемь типов О'Нана – Скотта:

HA (голоморф абелевой группы): это примитивные группы, которые являются подгруппами аффинной общей линейной группы AGL ( d , p ) для некоторого простого p и натурального числа d ≥ 1. Чтобы такая группа G была примитивной, он должен содержать подгруппу всех сдвигов, а стабилизатор G 0 в G нулевого вектора должен быть неприводимой подгруппой GL ( d, p ). Примитивные группы типа HA характеризуются наличием единственной минимальной нормальной подгруппы, которая является элементарной абелевой и действует регулярно.

HS (голоморф простой группы): Пусть T конечная неабелева простая группа. Тогда M = T × T действует на Ω =  T формулой t ( t 1 , t 2 ) = t 1 −1 tt 2 . Теперь у M есть две минимальные нормальные подгруппы N 1 , N 2 , каждая изоморфная T и каждая регулярно действует на Ω: одна умножением справа, а другая - умножением слева. Действие M примитивно, и если взять α = 1 T, то M α = {( t , t ) | t ∈ T }, который включает Inn ( T ) на Ω. На самом деле любой автоморфизм из Т будет действовать на Ом. Тогда примитивной группой типа HS является любая группа G такая, что M ≅ T .Inn ( T ) ≤ G ≤ T .Aut ( T ). Все такие группы имеют N 1 и N 2 как минимальные нормальные подгруппы.

HC (голоморф составной группы): Пусть T - неабелева простая группа, и пусть N 1 ≅ N 2 ≅ T k для некоторого целого числа k ≥ 2. Пусть Ω = T k . Тогда M = N 1 × N 2 действует на Ω транзитивно через x ( n 1 , n 2 ) = n 1 −1 xn 2 для всех x ∈ Ω, n 1 ∈ N 1 , n 2 ∈ N 2 . Как и в случае HS, имеем M ≅ T k .Inn ( T k ), и любой автоморфизм T k также действует на Ω. Примитивной группой типа HC называется группа G такая, что M ≤ G ≤ T k. Aut ( T k ) и G индуцирует подгруппу Aut ( T k ) = Aut ( T ) wr S k, которая транзитивно действует на множестве k простых прямых факторов T k . Любая такая группа G имеет две минимальные нормальные подгруппы, каждая изоморфная T k и регулярная.

Группа типа HC сохраняет структуру произведения Ω = Δ k, где Δ = T и G ≤ H wr S k, где H - примитивная группа типа HS на Δ.

TW (скрученный сплетение): здесь G имеет единственную минимальную нормальную подгруппу N и N ≅ T k для некоторой конечной неабелевой простой группы T, а N действует регулярно на Ω. Такие группы могут быть построены как скрученные сплетения и, следовательно, метка TW. Из условий, необходимых для получения примитивности, следует, что k ≥ 6, поэтому наименьшая степень такой примитивной группы равна 60 6 .

AS (почти простой): Здесь G группа, лежащая между T и Aut ( T ), то есть G почти простая группа и, следовательно, имя. Нам ничего не говорят о том, что это за действие, кроме того, что оно примитивно. Анализ этого типа требует знания возможных примитивных действий почти простых групп, что эквивалентно знанию максимальных подгрупп почти простых групп.

SD (простая диагональ): Пусть N = T k для некоторой неабелевой простой группы T и целого k ≥ 2, и пусть H = {( t, ..., t ) | т ∈ T } ≤ N . Тогда N действует на множестве Ω правых смежных классов группы H по N умножением справа. Мы можем взять {( t 1 , ..., t k −1 , 1) | t i ∈ T } как набор представителей смежных классов для H в N, и поэтому мы можем отождествить Ω с T k −1 . Теперь ( s 1 , ..., s k ) ∈ N переводит смежный класс с представителем ( t 1 , ..., t k −1 , 1) в смежный класс H ( t 1 s 1 , ..., t k −1 s k −1 , s k ) = H ( s k −1 t k s 1 , ..., s k −1 t k −1 s k −1 , 1) Группа S k индуцирует автоморфизмы N следующим образом: переставляя элементы и фиксируя подгруппу H, действует на множестве Ω. Также заметим, что H действует на Ω, индуцируя Inn ( T ), и фактически любой автоморфизм σ группы T действует на Ω, переводя смежный класс с представителем ( t 1 , ..., t k −1 , 1) в смежный класс с представитель ( t 1 σ , ..., t k −1 σ , 1). Таким образом, мы получаем группу W = N. (Out ( T ) × S k ) ≤ Sym (Ω). Примитивная группа типа SD представляет собой группа G ≤ W таким образом, что N ◅ G и G индуцирует примитивный подгруппу S к на к простым прямым факторам N .

CD (составная диагональ): Здесь Ω = Δ k и G ≤ H wr S k, где H - примитивная группа типа SD на Δ с минимальной нормальной подгруппой T l . Более того, N = T kl - минимальная нормальная подгруппа в G, а G индуцирует транзитивную подгруппу в S k .

ПА (действие продукта): Здесь Ω = Δ K и G ≤ H WR S K , где Н является примитивным почти простая группа по с цоколем T . Таким образом, G действует на Ω. Более того, N = T k ◅ G и G индуцирует транзитивную подгруппу в S k своим действием на k простых прямых факторов группы N.

Некоторые авторы используют разные подразделения по типам. Наиболее распространенным является включение типов HS и SD вместе как «диагональный тип» и типов HC, CD и PA вместе как «тип действия продукта». Позже Прегер обобщил теорему О'Нана – Скотта на квазипримитивные группы (группы с точными действия такие, что ограничение на любую нетривиальную нормальную подгруппу транзитивно).

Рекомендации

Внешние ссылки