Матрица узловой проводимости - Nodal admittance matrix

В энергетике , узловая матрице полной (или просто матрица допуска ) или Y Matrix или Ybus представляет собой N х N матрицу , описывающей линейную систему питания с N автобусами . Он представляет собой узловой допуск автобусов в энергосистеме. В реальных системах, содержащих тысячи шин, матрица Y довольно разрежена. Каждая шина в реальной энергосистеме обычно связана только с несколькими другими автобусами через линии передачи . Y-матрица также является одним из требований к данным, необходимых для разработки исследования потока мощности .

Контекст

Передача электроэнергии нуждается в оптимизации, чтобы определить необходимые потоки активной и реактивной мощности в системе для заданного набора нагрузок, а также напряжения и токи в системе. Исследования потоков мощности используются не только для анализа текущих ситуаций, связанных с потоками мощности, но и для предварительного планирования ожидаемых нарушений в системе, таких как потеря линии передачи для технического обслуживания и ремонта. Исследование потока мощности определит, сможет ли система продолжать нормально функционировать без линии передачи. Только компьютерное моделирование позволяет выполнять сложные операции, необходимые для анализа потока мощности, потому что в большинстве реальных ситуаций система очень сложна и обширна, и решить ее вручную было бы непрактично. Матрица Y - это инструмент в этой области. Он обеспечивает метод систематического сведения сложной системы к матрице, которую можно решить с помощью компьютерной программы. Уравнения, используемые для построения Y-матрицы, являются результатом применения закона Кирхгофа по току и закона напряжения Кирхгофа к схеме с установившимся синусоидальным режимом работы. Эти законы показывают, что сумма токов, входящих в узел в цепи, равна нулю, и сумма напряжений вокруг замкнутого контура, начинающегося и заканчивающегося в узле, также равна нулю. Эти принципы применяются ко всем узлам в системе потока мощности и тем самым определяют элементы матрицы проводимости, которая представляет отношения проводимости между узлами, которые затем определяют напряжения, токи и потоки мощности в системе.

строительство

Начиная с однолинейной схемы энергосистемы, есть три основных шага перед написанием уравнений, образующих матрицу. Сначала однолинейная диаграмма преобразуется в диаграмму импеданса. Затем все источники напряжения преобразуются в их эквивалентные представления источника тока. Отсюда диаграмма импеданса преобразуется в диаграмму проводимости. После этих трех шагов матрица проводимости может быть создана простым способом: Для диаграммы проводимости с шинами проводимость между рассматриваемой шиной k и другой шиной i , подключенной к k , может быть описана как . Здесь следует ввести термин ; этот термин учитывает допустимую нагрузку на линейные нагрузки, подключенные к шине, а также проводимость на землю на шине . Общее математическое выражение следующее: ${\ displaystyle Y}$ ${\ displaystyle N}$ ${\ displaystyle y_ {ik} = g_ {ik} + jb_ {ik}}$ ${\ displaystyle y_ {k}}$ ${\ displaystyle k}$ ${\ displaystyle k}$

{\ displaystyle Y_ {ij} = {\ begin {cases} y_ {i} + \ sum _ {k = 1,2, \ ldots, N \ atop k \ neq i} {y_ {ik}}, & {\ mbox {if}} \ quad i = j \\ - y_ {ij}, & {\ mbox {if}} \ quad i \ neq j \ end {case}}}

Важно отметить, что это ненулевое значение только тогда, когда существует физическое соединение между двумя шинами. Это соображение не рассматривается в следующем примере, потому что каждый узел подключен к обоим другим узлам. Каждый определяет один элемент матрицы. В общем случае, когда N больше 2, желательно решать эти уравнения как систему, а именно через матричную алгебру. Общая матрица выглядит следующим образом: Форма матрицы узловой проводимости: ${\ displaystyle y_ {ki}}$ ${\ displaystyle y_ {ki}}$ ${\ Displaystyle N \ раз {N}}$ ${\ displaystyle Y = {\ begin {bmatrix} Y_ {11} & Y_ {12} & \ cdots & Y_ {1n} \\ Y_ {21} & Y_ {22} & \ cdots & Y_ {2n} \\\ cdots & \ cdots & \ cdots & \ cdots \\ Y_ {n1} & Y_ {n2} & \ cdots & Y_ {nn} \ end {bmatrix}}}$

Диаграмма пропускной способности сети из трех шин.

После того, как матрица адмиттанса сформирована, ее можно ввести для решения матричной формы закона Ома - уравнения . В данном случае представляет собой вектор напряжения на каждом узле , и является вектором соответствующих токов. В матричной форме закон Ома выглядит следующим образом: ${\ Displaystyle Y * V = I}$ ${\ displaystyle V}$ ${\ Displaystyle N \ раз {1}}$ ${\ displaystyle I}$ ${\ Displaystyle N \ раз {1}}$

{\ displaystyle {\ begin {pmatrix} Y_ {11} & Y_ {12} & \ cdots & Y_ {1N} \\ Y_ {21} & Y_ {22} & \ cdots & Y_ {2N} \\\ vdots & \ ddots & \ cdots & \ vdots \\ Y_ {NN} & Y_ {N2} & \ cdots & Y_ {NN} \\\ end {pmatrix}} * {\ begin {pmatrix} V_ {1} \\ V_ {2} \\\ vdots \\ V_ {N} \\\ end {pmatrix}} = {\ begin {pmatrix} I_ {1} \\ I_ {2} \\\ vdots \\ I_ {N} \\\ end {pmatrix}}}

Чтобы проиллюстрировать этот процесс с помощью матрицы допустимости трех шинной сети на рисунке, можно было бы:

{\ displaystyle Y = {\ begin {pmatrix} y_ {1} + y_ {12} + y_ {13} & - y_ {12} & - y_ {13} \\ - y_ {12} & y_ {2} + y_ {12} + y_ {23} & - y_ {23} \\ - y_ {13} & - y_ {23} & y_ {3} + y_ {13} + y_ {23} \\\ end {pmatrix}}}

Диагональные элементы матрицы Y называются собственными проводниками в узлах, и каждый равен сумме всех проводимых проводов, заканчивающихся на узле, идентифицированном повторяющимися индексами. Остальные допуски - это взаимные допуски узлов, и каждый равен отрицательному значению суммы всех проводников, подключенных непосредственно между узлами, обозначенными двойными индексами. Матрица проводимости обычно представляет собой симметричную матрицу как . Однако расширения линейной модели и моделей других компонентов могут быть асимметричными. Примером может служить фазовращающий трансформатор, который станет асимметричным. ${\ displaystyle Y_ {11}, Y_ {22}, ..., Y_ {nn}}$ ${\ displaystyle Y}$ ${\ displaystyle y_ {mn} = y_ {нм}}$ ${\ displaystyle Y}$ ${\ displaystyle Y}$

Для небольших систем передачи, состоящих из менее чем 10 узлов или шин, матрицу Y можно рассчитать вручную. Но для реалистичной системы с относительно большим количеством узлов или шин, скажем 1000 узлов, более практично использовать компьютерную программу для вычисления Y.

Узловая сеть

Чтобы понять важность использования системы уравнений в матричной форме, см. Рисунок рядом. Мало того, что становится непрактичным вычислять вектор тока вручную, становится необходимым использовать вычислительную мощность для формирования самой матрицы проводимости. ${\ displaystyle V}$

Пример:

Схема двухузлового потока мощности любезно предоставлена Грейнджером и Стивенсоном

Чтобы взглянуть на обобщаемую матрицу, рассмотрим фигуру двухузловой сети. По закону тока Кирхгофа можно показать, что: поскольку нет других токов, входящих или выходящих из узлов или . Падение напряжения на линии может быть выражена как: . Затем используйте закон Ома с допуском вместо импеданса. Используя замену , чтобы получить: . Чтобы вновь ввести некоторую общность, и . Таким образом, этот пример можно рассматривать как первый шаг в понимании того, как обычно строить матрицу вручную. ${\ displaystyle 2 \ times 2}$ ${\ displaystyle {\ begin {pmatrix} I_ {m} \\ I_ {n} \\\ end {pmatrix}} = {\ begin {pmatrix} 1 \\ 1 \\\ end {pmatrix}} * I_ {a }}$ ${\ displaystyle m}$ ${\ displaystyle n}$ ${\ displaystyle V_ {a} = {\ begin {pmatrix} 1 * -1 \\\ end {pmatrix}} * {\ begin {pmatrix} V_ {m} \\ V_ {n} \\\ end {pmatrix} }}$ ${\ displaystyle {\ begin {pmatrix} Y_ {a} & - Y_ {a} \\ - Y_ {a} & Y_ {a} \ end {pmatrix}} * {\ begin {pmatrix} V_ {m} \\ V_ {n} \\\ end {pmatrix}} = {\ begin {pmatrix} I_ {m} \\ I_ {n} \\\ end {pmatrix}}}$ ${\ displaystyle Y_ {11} = Y_ {мм}, Y_ {21} = Y_ {нм}, Y_ {12} = Y_ {mn},}$ ${\ displaystyle Y_ {22} = Y_ {nn}}$ ${\ Displaystyle N \ раз N}$