Умножение и повторное сложение - Multiplication and repeated addition

В математическом образовании велась дискуссия о том, следует ли преподавать операцию умножения как форму повторного сложения . Участники дискуссии подняли несколько точек зрения, включая аксиомы арифметики, педагогики, обучения и учебного дизайна, историю математики, философию математики и компьютерную математику.

Предыстория дискуссии

В начале 1990-х Лесли Стефф предложил схему счета, которую дети используют, чтобы усвоить умножение в своих математических знаниях. Джери Конфри противопоставил схему счета гипотезе о расщеплении. Конфри предположил, что счет и расщепление - это два отдельных независимых когнитивных примитива. Это вызвало научные дискуссии в форме презентаций на конференциях, статей и глав книг.

Дебаты возникли из-за более широкого распространения учебных программ, в которых упор делался на масштабирование, масштабирование, складывание и измерение математических задач в первые годы обучения. Такие задачи требуют и поддерживают модели умножения, которые не основаны на подсчете или повторном сложении. Споры вокруг вопроса: «Действительно ли умножение повторяется сложением?» появился на дискуссионных форумах родителей и учителей в середине 1990-х годов.

Кейт Девлин написал колонку « Математическая ассоциация Америки» под названием «Это не повторяющееся дополнение», в которой он продолжил обмен электронными письмами с учителями после того, как он кратко упомянул эту тему в предыдущей статье. Колонка связала академические дебаты с дебатами практиков. Это вызвало многочисленные обсуждения в исследовательских и практических блогах и форумах. Кейт Девлин продолжил писать на эту тему.

Педагогические перспективы

От счета к умножению

В типичных учебных программах и стандартах по математике, таких как Common Core State Standards Initiative , значение произведения действительных чисел проходит через серию понятий, обычно начинающуюся с повторного сложения и в конечном итоге заключающуюся в масштабировании. После того, как натуральные (или целые) числа определены и поняты как средство для подсчета, ребенок знакомится с основными операциями арифметики в следующем порядке: сложение, вычитание, умножение и деление. Эти операции, хотя и введены на очень раннем этапе обучения детей математике, имеют длительное влияние на развитие у учащихся чувства числа как продвинутых числовых способностей. В этих учебных программах умножение вводится сразу после постановки вопросов, связанных с повторным сложением, например: «Есть 3 мешка по 8 яблок в каждом. Сколько всего яблок? Учащийся может:

${\ displaystyle 8 + 8 + 8 = 24,}$

или выберите альтернативу

${\ displaystyle 3 \ times 8 = 24.}$

Этот подход поддерживается в течение нескольких лет преподавания и обучения и создает представление о том, что умножение - это просто более эффективный способ сложения. Как только вводится 0, он не оказывает значительного изменения, потому что

${\ Displaystyle 3 \ раз 0 = 0 + 0 + 0,}$

что равно 0, и свойство коммутативности привело бы нас также к определению

${\ displaystyle 0 \ times 3 = 0.}$

Таким образом, повторное сложение распространяется на целые числа (0, 1, 2, 3, 4, ...). Первый вызов убеждению, что умножение - это повторное сложение, появляется, когда ученики начинают работать с дробями. С математической точки зрения умножение как повторное сложение может быть расширено до дробей. Например,

${\ Displaystyle 7/4 \ раз 5/6}$

буквально требует «одну и три четверти от пяти шестых». Позже это имеет значение, потому что студентов учат, что в задачах со словами слово «из» обычно указывает на умножение. Однако это расширение проблематично для многих студентов, которые начинают бороться с математикой, когда вводятся дроби. Более того, когда в игру вступают иррациональные числа , необходимо существенно изменить модель повторного сложения .

Относительно этих вопросов преподаватели математики обсуждали, усугубляются ли трудности учеников с дробями и иррациональными числами, рассматривая умножение как повторяющееся сложение в течение долгого времени до того, как эти числа вводятся, и, соответственно, допустимо ли значительно изменять строгую математику для начального образования, что привело к детям верить утверждениям, которые впоследствии оказываются неверными.

От масштабирования к умножению

Умножение также можно рассматривать как масштабирование. В приведенной выше анимации мы видим, как 3 умножается на 2, что в результате дает 6.

Одна теория умножения обучения основана на работе российских преподавателей математики в кружке Выготского, который действовал в Советском Союзе в период между мировыми войнами. Их вклад известен как гипотеза о расщеплении.

Другая теория обучения умножению исходит из тех, кто изучает воплощенное познание , которые исследовали лежащие в основе метафоры умножения.

Вместе эти исследования вдохновили учебные планы на «по сути мультипликативные» задачи для маленьких детей. Примеры этих задач включают в себя: эластичное растяжение, масштабирование, складывание, проецирование теней или отбрасывание теней. Эти задачи не зависят от подсчета и не могут быть легко сформулированы в терминах повторного сложения.

Вопросы обсуждения, связанные с этими учебными планами, включают:

Что можно приумножить?

Умножение часто определяется для натуральных чисел , а затем распространяется на целые числа, дроби и иррациональные числа. Однако абстрактная алгебра имеет более общее определение умножения как бинарной операции над некоторыми объектами, которые могут быть, а могут и не быть числами. Примечательно, что можно умножать комплексные числа , векторы , матрицы и кватернионы . Некоторые педагоги полагают, что рассмотрение умножения исключительно как повторного сложения в начальной школе может помешать более позднему пониманию этих аспектов умножения.

Модели и метафоры, лежащие в основе умножения

В контексте математического образования модели - это конкретные представления абстрактных математических идей, которые отражают некоторые или все существенные качества идеи. Модели часто разрабатываются как физические или виртуальные манипуляторы и сопровождающие их учебные материалы. Частью дискуссии об умножении и повторном сложении является сравнение различных моделей и их учебных материалов. Разные модели могут поддерживать или не поддерживать умножение разных типов чисел; например, модель множеств, в которой числа представлены как совокупности объектов, а умножение как объединение множества множеств с одинаковым количеством объектов в каждом, не может быть расширена до умножения дробных или действительных чисел. Различные модели также могут иметь отношение к конкретным приложениям арифметики; например, комбинированные модели возникают в теории вероятностей и биологии.

Рекомендации