Полиномиальный пробит - Multinomial probit

Часть серии по
Регрессионный анализ
Модели
Линейная регрессия Простая регрессия Полиномиальная регрессия Общая линейная модель
Обобщенная линейная модель Дискретный выбор Биномиальная регрессия Бинарная регрессия Логистическая регрессия Полиномиальный логит Смешанный логит Пробит Полиномиальный пробит Заказал логит Заказал пробит Пуассон
Многоуровневая модель Фиксированные эффекты Случайные эффекты Линейная модель смешанных эффектов Нелинейная модель смешанных эффектов
Нелинейная регрессия Непараметрический Полупараметрический Надежный Квантиль Изотонический Основные компоненты Наименьший угол Местный Сегментированный
Ошибки в переменных
Предварительный расчет
Наименьших квадратов Линейный Нелинейный
Обыкновенный Взвешенный Обобщенный
Частичное Всего Неотрицательный Регрессия хребта Регулярный
Наименьшие абсолютные отклонения Итеративно переназначенный Байесовский Байесовский многомерный
Задний план
Проверка регрессии Средний и прогнозируемый ответ Ошибки и остатки Доброту соответствия Студентизованный остаток Теорема Гаусса – Маркова
Математический портал
v т е

В статистике и эконометрике , то полиномиальная модель пробит является обобщением модели пробит используется , когда существует несколько возможных категорий , что зависимая переменная может попасть. Таким образом, это альтернатива полиномиальной логит- модели как одному из методов мультиклассовой классификации . Ее не следует путать с многомерной пробит-моделью , которая используется для моделирования коррелированных бинарных результатов для более чем одной независимой переменной.

Общая спецификация

Предполагается, что у нас есть серия наблюдений Y _i , для i = 1 ... n , результатов множественных выборов из категориального распределения размера m (есть m возможных вариантов). Наряду с каждым наблюдением Y _i представляет собой набор из k наблюдаемых значений x _{1, i} , ..., x _{k, i} независимых переменных (также известных как независимые переменные , переменные-предикторы, характеристики и т. Д.). Несколько примеров:

• Наблюдаемые результаты могут быть такими: «есть болезнь А, болезнь В, болезнь С, нет ни одной из болезней» для набора редких заболеваний со схожими симптомами, а объясняющими переменными могут быть характеристики пациентов, которые считаются соответствующими (пол , раса, возраст, артериальное давление , индекс массы тела , наличие или отсутствие различных симптомов и т. д.).
• Наблюдаемые результаты - это голоса людей за данную партию или кандидата на многосторонних выборах, а объясняющие переменные - это демографические характеристики каждого человека (например, пол, раса, возраст, доход и т. Д.).

Полиномиальная пробит-модель - это статистическая модель, которая может использоваться для прогнозирования вероятного исхода ненаблюдаемого многостороннего испытания с учетом связанных независимых переменных. В процессе модель пытается объяснить относительное влияние различных объясняющих переменных на разные результаты.

Формально результаты Y _i описываются как категориально распределенные данные, где каждое значение результата h для наблюдения i происходит с ненаблюдаемой вероятностью p _{i, h,} которая является специфической для данного наблюдения i, поскольку определяется значениями объясняющие переменные, связанные с этим наблюдением. То есть:

${\ displaystyle Y_ {i} | x_ {1, i}, \ ldots, x_ {k, i} \ \ sim \ operatorname {категориальный} (p_ {i, 1}, \ ldots, p_ {i, m}) , {\ text {for}} i = 1, \ dots, n}$

или эквивалентно

${\ displaystyle \ Pr [Y_ {i} = h | x_ {1, i}, \ ldots, x_ {k, i}] = p_ {i, h}, {\ text {for}} i = 1, \ точки, n,}$

для каждого из m возможных значений h .

Скрытая переменная модель

Полиномиальный пробит часто записывается в терминах модели скрытых переменных :

${\ displaystyle {\ begin {align} Y_ {i} ^ {1 \ ast} & = {\ boldsymbol {\ beta}} _ {1} \ cdot \ mathbf {X} _ {i} + \ varepsilon _ {1 } \, \\ Y_ {i} ^ {2 \ ast} & = {\ boldsymbol {\ beta}} _ {2} \ cdot \ mathbf {X} _ {i} + \ varepsilon _ {2} \, \ \\ ldots & \ ldots \\ Y_ {i} ^ {m \ ast} & = {\ boldsymbol {\ beta}} _ {m} \ cdot \ mathbf {X} _ {i} + \ varepsilon _ {m} \, \\\ конец {выровнено}}}$

где

${\ displaystyle {\ boldsymbol {\ varepsilon}} \ sim {\ mathcal {N}} (0, {\ boldsymbol {\ Sigma}})}$

потом

${\ displaystyle Y_ {i} = {\ begin {cases} 1 & {\ text {if}} Y_ {i} ^ {1 \ ast}> Y_ {i} ^ {2 \ ast}, \ ldots, Y_ {i } ^ {m \ ast} \\ 2 & {\ text {if}} Y_ {i} ^ {2 \ ast}> Y_ {i} ^ {1 \ ast}, Y_ {i} ^ {3 \ ast}, \ ldots, Y_ {i} ^ {m \ ast} \\\ ldots & \ ldots \\ m & {\ text {в противном случае.}} \ end {case}}}$

То есть,

${\ displaystyle Y_ {i} = \ arg \ max _ {h = 1} ^ {m} Y_ {i} ^ {h \ ast}}$

Обратите внимание, что эта модель допускает произвольную корреляцию между ошибочными переменными , так что она не обязательно учитывает независимость нерелевантных альтернатив .

Когда это единичная матрица (такая, что нет корреляции или гетероскедастичности ), модель называется независимым пробитом . ${\ displaystyle \ scriptstyle {\ boldsymbol {\ Sigma}}}$

Предварительный расчет

Подробнее о том, как оцениваются уравнения, см. В статье Пробит-модель .

Рекомендации

• Грин, Уильям Х. (2012). Эконометрический анализ (седьмое изд.). Бостон: образование Пирсона. С. 810–811. ISBN   978-0-273-75356-8 .