Мин-энтропия - Min-entropy

Мин-энтропия в теории информации , является наималейшей из семейства Рения энтропий, что соответствует самому консервативному способу измерения непредсказуемости набора результатов, так как отрицательный логарифм вероятности наиболее вероятного исхода. Различные энтропии Реньи равны для равномерного распределения, но измеряют непредсказуемость неоднородного распределения разными способами. Минимальная энтропия никогда не превышает обычную энтропию или энтропию Шеннона (которая измеряет среднюю непредсказуемость результатов) и, в свою очередь, никогда не превышает энтропию Хартли или максимальную энтропию , определяемую как логарифм количества исходов с ненулевой вероятностью. .

Как и в случае с классической энтропией Шеннона и ее квантовым обобщением, энтропией фон Неймана , можно определить условную версию мин-энтропии. Условная квантовая минимальная энтропия - это одноразовый или консервативный аналог условной квантовой энтропии .

Чтобы интерпретировать условную меру информации, предположим, что Алиса и Боб разделяют двудольное квантовое состояние . Алиса имеет доступ к системе, а Боб - к системе . Условная энтропия измеряет среднюю неопределенность, которую Боб имеет относительно состояния Алисы при выборке из его собственной системы. Мин-энтропию можно интерпретировать как расстояние между состоянием и максимально запутанным состоянием. ${\ displaystyle \ rho _ {AB}}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle B}$

Эта концепция полезна в квантовой криптографии в контексте усиления конфиденциальности (см., Например).

Определения

Определение: Позвольте быть двудольным оператором плотности на пространстве . Мин-энтропия обусловленного состояния определяется как ${\ displaystyle \ rho _ {AB}}$${\ displaystyle {\ mathcal {H}} _ {A} \ otimes {\ mathcal {H}} _ {B}}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle B}$

${\ Displaystyle H _ {\ min} (A | B) _ {\ rho} \ Equiv - \ inf _ {\ sigma _ {B}} D _ {\ max} (\ rho _ {AB} \ | I_ {A} \ otimes \ sigma _ {B})}$

где нижняя грань пробегает все операторы плотности в пространстве . Мерой является максимальная относительная энтропия, определяемая как ${\ displaystyle \ sigma _ {B}}$${\ displaystyle {\ mathcal {H}} _ {B}}$${\ displaystyle D _ {\ max}}$

${\ Displaystyle D _ {\ max} (\ rho \ | \ sigma) = \ inf _ {\ lambda} \ {\ lambda: \ rho \ leq 2 ^ {\ lambda} \ sigma \}}$

Гладкая мин-энтропия определяется в терминах мин-энтропии.

${\ Displaystyle H _ {\ min} ^ {\ epsilon} (A | B) _ {\ rho} = \ sup _ {\ rho '} H _ {\ min} (A | B) _ {\ rho'}}$

где sup и inf пробегают операторы плотности , близкие к . Эта мера -close определяется в терминах очищенного расстояния. ${\ displaystyle \ rho '_ {AB}}$${\ displaystyle \ epsilon}$${\ displaystyle \ rho _ {AB}}$${\ displaystyle \ epsilon}$

${\ Displaystyle P (\ rho, \ sigma) = {\ sqrt {1-F (\ rho, \ sigma) ^ {2}}}}$

где - мера верности . ${\ Displaystyle F (\ rho, \ sigma)}$

Эти величины можно рассматривать как обобщения энтропии фон Неймана . Действительно, энтропия фон Неймана может быть выражена как

${\ Displaystyle S (A | B) _ {\ rho} = \ lim _ {\ epsilon \ rightarrow 0} \ lim _ {n \ rightarrow \ infty} {\ frac {1} {n}} H _ {\ min} ^ {\ epsilon} (A ^ {n} | B ^ {n}) _ {\ rho ^ {\ otimes n}} ~.}$

Это называется полностью квантовой асимптотической теоремой о равнораспределении. Сглаженные энтропии имеют много общих интересных свойств с энтропией фон Неймана. Например, гладкая минимальная энтропия удовлетворяет неравенству обработки данных:

${\ displaystyle H _ {\ min} ^ {\ epsilon} (A | B) _ {\ rho} \ geq H _ {\ min} ^ {\ epsilon} (A | BC) _ {\ rho} ~.}$

Оперативная интерпретация сглаженной мин-энтропии

В дальнейшем мы будем опускать нижний индекс минимальной энтропии, когда из контекста очевидно, в каком состоянии она оценивается. ${\ displaystyle \ rho}$

Мин-энтропия как неопределенность относительно классической информации

Предположим, агент имеет доступ к квантовой системе , состояние которой зависит от некоторой классической переменной . Кроме того, предположим, что каждый из его элементов распределен согласно некоторому распределению . Это можно описать следующим состоянием системы . ${\ displaystyle B}$${\ displaystyle \ rho _ {B} ^ {x}}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle x}$${\ Displaystyle P_ {X} (х)}$${\ displaystyle XB}$

${\ displaystyle \ rho _ {XB} = \ sum _ {x} P_ {X} (x) | x \ rangle \ langle x | \ otimes \ rho _ {B} ^ {x},}$

где образуют ортонормированный базис. Мы хотели бы знать, что агент может узнать о классической переменной . Пусть будет вероятность, которую агент угадывает при использовании оптимальной стратегии измерения ${\ Displaystyle \ {| х \ rangle \}}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle p_ {g} (X | B)}$${\ displaystyle X}$

${\ Displaystyle p_ {g} (X | B) = \ sum _ {x} P_ {X} (x) tr (E_ {x} \ rho _ {B} ^ {x}),}$

где POVM максимизирует это выражение. Можно показать, что этот оптимум может быть выражен через мин-энтропию как ${\ displaystyle E_ {x}}$

${\ displaystyle p_ {g} (X | B) = 2 ^ {- H _ {\ min} (X | B)} ~.}$

Если состояние является состоянием произведения, т.е. для некоторых операторов плотности и , то корреляции между системами и нет . В этом случае оказывается, что${\ displaystyle \ rho _ {XB}}$${\ Displaystyle \ rho _ {XB} = \ sigma _ {X} \ otimes \ tau _ {B}}$${\ displaystyle \ sigma _ {X}}$${\ displaystyle \ tau _ {B}}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle B}$${\ displaystyle 2 ^ {- H _ {\ min} (X | B)} = \ max _ {x} P_ {X} (x) ~.}$

Мин-энтропия как расстояние от максимально запутанного состояния

Максимально запутанное состояние двудольной системы определяется как ${\ displaystyle | \ phi ^ {+} \ rangle}$${\ displaystyle {\ mathcal {H}} _ {A} \ otimes {\ mathcal {H}} _ {B}}$

${\ displaystyle | \ phi ^ {+} \ rangle _ {AB} = {\ frac {1} {\ sqrt {d}}} \ sum _ {x_ {A}, x_ {B}} | x_ {A} \ rangle | x_ {B} \ rangle}$

где и образуют ортонормированный базис для пространств и соответственно. Для двудольного квантового состояния мы определяем максимальное перекрытие с максимально запутанным состоянием как ${\ displaystyle \ {| x_ {A} \ rangle \}}$${\ Displaystyle \ {| x_ {B} \ rangle \}}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle B}$${\ displaystyle \ rho _ {AB}}$

${\ displaystyle q_ {c} (A | B) = d_ {A} \ max _ {\ mathcal {E}} F \ left ((I_ {A} \ otimes {\ mathcal {E}}) \ rho _ { AB}, | \ phi ^ {+} \ rangle \ langle \ phi ^ {+} | \ right) ^ {2}}$

где максимум - по всем операциям CPTP и является размерностью подсистемы . Это мера того, насколько состояние коррелировано . Это можно показать . Если информация, содержащаяся в, является классической, это сводится к приведенному выше выражению для вероятности предположения. ${\ displaystyle {\ mathcal {E}}}$${\ displaystyle d_ {A}}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle \ rho _ {AB}}$${\ displaystyle q_ {c} (A | B) = 2 ^ {- H _ {\ min} (A | B)}}$${\ displaystyle A}$

Доказательство функциональной характеристики мин-энтропии

Доказательство взято из статьи Кёнига, Шаффнера, Реннера в 2008 году. Оно связано с механизмом полуопределенных программ . Предположим, нам дан некоторый двудольный оператор плотности . Из определения мин-энтропии имеем ${\ displaystyle \ rho _ {AB}}$

${\ displaystyle H _ {\ min} (A | B) = - \ inf _ {\ sigma _ {B}} \ inf _ {\ lambda} \ {\ lambda | \ rho _ {AB} \ leq 2 ^ {\ лямбда} (I_ {A} \ otimes \ sigma _ {B}) \} ~.}$

Это можно переписать как

${\ displaystyle - \ log \ inf _ {\ sigma _ {B}} \ operatorname {Tr} (\ sigma _ {B})}$

при соблюдении условий

${\ displaystyle \ sigma _ {B} \ geq 0}$

${\ displaystyle I_ {A} \ otimes \ sigma _ {B} \ geq \ rho _ {AB} ~.}$

Заметим, что нижняя грань берется по компактам и, следовательно, может быть заменена на минимум. Затем это можно кратко выразить как полуопределенную программу. Рассмотрим основную проблему

${\ displaystyle {\ text {min:}} \ operatorname {Tr} (\ sigma _ {B})}$

${\ displaystyle {\ text {при условии:}} I_ {A} \ otimes \ sigma _ {B} \ geq \ rho _ {AB}}$

${\ displaystyle \ sigma _ {B} \ geq 0 ~.}$

Эта прямая задача также может быть полностью определена матрицами, где - сопряженный частичный след . Действие операторов on можно записать как ${\ displaystyle (\ rho _ {AB}, I_ {B}, \ operatorname {Tr} ^ {*})}$${\ displaystyle \ operatorname {Tr} ^ {*}}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle \ operatorname {Tr} ^ {*}}$${\ displaystyle B}$

${\ displaystyle \ operatorname {Tr} ^ {*} (X) = I_ {A} \ otimes X ~.}$

Мы можем выразить двойственную задачу как максимизацию операторов в пространстве как ${\ displaystyle E_ {AB}}$${\ displaystyle AB}$

${\ displaystyle {\ text {max:}} \ operatorname {Tr} (\ rho _ {AB} E_ {AB})}$

${\ displaystyle {\ text {subject to:}} \ operatorname {Tr} _ {A} (E_ {AB}) = I_ {B}}$

${\ displaystyle E_ {AB} \ geq 0 ~.}$

Используя изоморфизм Чоя – Ямиолковского , мы можем определить канал так , что ${\ displaystyle {\ mathcal {E}}}$

${\ displaystyle d_ {A} I_ {A} \ otimes {\ mathcal {E}} ^ {\ dagger} (| \ phi ^ {+} \ rangle \ langle \ phi ^ {+} |) = E_ {AB} }$

где состояние колокола определено над пространством . Это означает, что мы можем выразить целевую функцию двойственной задачи как ${\ displaystyle AA '}$

${\ displaystyle \ langle \ rho _ {AB}, E_ {AB} \ rangle = d_ {A} \ langle \ rho _ {AB}, I_ {A} \ otimes {\ mathcal {E}} ^ {\ dagger} (| \ phi ^ {+} \ rangle \ langle \ phi ^ {+} |) \ rangle}$

${\ displaystyle = d_ {A} \ langle I_ {A} \ otimes {\ mathcal {E}} (\ rho _ {AB}), | \ phi ^ {+} \ rangle \ langle \ phi ^ {+} | ) \ rangle}$

по желанию.

Обратите внимание, что в случае, если система является частично классическим состоянием, как указано выше, то количество, которое мы ищем, уменьшается до ${\ displaystyle A}$

${\ displaystyle \ max P_ {X} (x) \ langle x | {\ mathcal {E}} (\ rho _ {B} ^ {x}) | x \ rangle ~.}$

Мы можем интерпретировать это как стратегию предположений, и затем это сводится к приведенной выше интерпретации, когда злоумышленник хочет найти строку, имеющую доступ к квантовой информации через систему . ${\ displaystyle {\ mathcal {E}}}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle B}$

Смотрите также

• энтропия фон Неймана
• Обобщенная относительная энтропия
• макс-энтропия

Ссылки