Энтропия фон Неймана - Von Neumann entropy
В квантовой статистической механике , то энтропия фона Нейман , названная в честь Джона фон Неймана , является продолжением классического Гиббса энтропии понятия в области квантовой механики . Для квантово-механической системы, описываемой матрицей плотности ρ , энтропия фон Неймана равна
где обозначает след, а ln обозначает (натуральный) матричный логарифм . Если ρ записать через свои собственные векторы как
тогда энтропия фон Неймана просто
В этой форме S можно рассматривать как теоретическую энтропию Шеннона .
Энтропия фон Неймана также используется в различных формах ( условные энтропии , относительные энтропии и т. Д.) В рамках квантовой теории информации для характеристики энтропии запутанности .
Фон
Джон фон Нейман установил строгую математическую основу квантовой механики в своей работе 1932 года « Математические основы квантовой механики» . В нем он представил теорию измерения, в которой обычное понятие коллапса волновой функции описывается как необратимый процесс (так называемое фон Неймана или проективное измерение).
Матрица плотности была введена, с различными мотивами, по фон Нейману и по Л. Д. Ландау . Мотивом, вдохновившим Ландау, была невозможность описания подсистемы составной квантовой системы вектором состояния. С другой стороны, фон Нейман ввел матрицу плотности для развития как квантовой статистической механики, так и теории квантовых измерений.
Разработанный таким образом формализм матрицы плотности распространил инструменты классической статистической механики на квантовую область. В классической схеме распределение вероятностей и статистическая сумма системы позволяют вычислить все возможные термодинамические величины. Фон Нейман ввел матрицу плотности, чтобы играть ту же роль в контексте квантовых состояний и операторов в комплексном гильбертовом пространстве. Знание оператора статистической матрицы плотности позволит нам вычислять все средние квантовые объекты концептуально аналогичным, но математически другим способом.
Допустим, у нас есть набор волновых функций | Ψ > , что параметрически зависят от набора квантовых чисел п 1 , п 2 , ..., п Н . Естественная переменная, которая у нас есть, - это амплитуда, с которой конкретная волновая функция базового набора участвует в действительной волновой функции системы. Обозначим квадрат этой амплитуды через p ( n 1 , n 2 , ..., n N ). Цель состоит в том, чтобы превратить эту величину p в классическую функцию плотности в фазовом пространстве. Мы должны проверить, что p переходит в функцию плотности в классическом пределе и что она обладает эргодическими свойствами. После проверки того, что p ( n 1 , n 2 , ..., n N ) является константой движения, эргодическое предположение для вероятностей p ( n 1 , n 2 , ..., n N ) делает p функцией только энергия.
После этой процедуры мы, наконец, приходим к формализму матрицы плотности при поиске формы, в которой p ( n 1 , n 2 , ..., n N ) инвариантно относительно используемого представления. В форме написано, это будет только давать правильные средние значения для величин , которые по диагонали относительно квантовых чисел п 1 , п 2 , ..., п Н .
Ожидаемые значения операторов, которые не являются диагональными, включают фазы квантовых амплитуд. Предположим, мы кодируем квантовые числа n 1 , n 2 , ..., n N в один индекс i или j . Тогда наша волновая функция имеет вид
Среднее значение оператора B, не диагонального в этих волновых функциях, поэтому
Роль , которая первоначально была зарезервирована для величин , таким образом , берется матрицей плотности системы S .
Следовательно, 〈B〉 читается как
Неизменность указанного члена описывается теорией матриц. Была описана математическая структура, в которой математическое ожидание квантовых операторов, описываемое матрицами, получается путем взятия следа произведения оператора плотности и оператора (скалярное произведение Гильберта между операторами). Матричный формализм здесь находится в рамках статистической механики, хотя он также применим и для конечных квантовых систем, что обычно имеет место, когда состояние системы не может быть описано чистым состоянием , а как статистический оператор вышеуказанной формы . Математически это положительно-полуопределенная эрмитова матрица с единичным следом.
Определение
Учитывая матрицу плотности ρ , фон Нейман определил энтропию как
что является надлежащим расширением энтропии Гиббса (до коэффициента k B ) и энтропии Шеннона на квантовый случай. Для вычисления S ( р ) удобно (см логарифм матрицы ) для вычисления eigendecomposition из . Энтропия фон Неймана тогда определяется как
Поскольку для чистого состояния матрица плотности идемпотентна , ρ = ρ 2 , энтропия S ( ρ ) для нее равна нулю. Таким образом, если система конечна (конечномерное матричное представление), энтропия S ( ρ ) количественно определяет отклонение системы от чистого состояния . Другими словами, он кодирует степень перемешивания состояния, описывающего данную конечную систему. Измерение decoheres квантовой системы в нечто мешающее и якобы классическую ; так, например, исчезающая энтропия чистого состояния , соответствующая матрице плотности
увеличивается до для смеси результатов измерения
поскольку информация о квантовой интерференции стирается.
Характеристики
Некоторые свойства энтропии фон Неймана:
- S ( ρ ) равно нулю тогда и только тогда, когда ρ представляет чистое состояние.
- S ( ρ ) максимальна и равна ln N для максимально смешанного состояния , где N - размерность гильбертова пространства .
- S ( ρ ) инвариантно относительно изменений в базисе ρ , то есть S ( ρ ) = S ( UρU † ) , где U - унитарное преобразование.
- S ( ρ ) вогнутая, то есть для набора положительных чисел λ i, суммируемых с единицей (), и операторов плотности ρ i , мы имеем
- S ( ρ ) удовлетворяет оценке
- где равенство достигается, если ρ i имеет ортогональный носитель, и, как и раньше, ρ i - операторы плотности, а λ i - набор положительных чисел, сумма которых равна единице ( )
- S ( ρ ) аддитивна для независимых систем. Для двух матриц плотности ρ A , ρ B, описывающих независимые системы A и B , имеем
- .
- S ( ρ ) сильно субаддитивна для любых трех систем A , B и C :
- Это автоматически означает, что S ( ρ ) субаддитивна:
Ниже обсуждается концепция субаддитивности с последующим ее обобщением до сильной субаддитивности.
Субаддитивность
Если ρ A , ρ B - приведенные матрицы плотности общего состояния ρ AB , то
Это правое неравенство известно как субаддитивность . Два неравенства вместе иногда называют неравенством треугольника . Они были доказаны в 1970 году Хузихиро Араки и Эллиоттом Х. Либом . В то время как в теории Шеннона энтропия составной системы никогда не может быть ниже энтропии любой из ее частей, в квантовой теории это не так, т. Е. Возможно, что S ( ρ AB ) = 0 , а S ( ρ А ) = S ( ρ B )> 0 .
Интуитивно это можно понять следующим образом: в квантовой механике энтропия совместной системы может быть меньше суммы энтропии ее компонентов, потому что компоненты могут быть запутанными . Например, как явно видно, состояние Белла с двумя спин-½,
является чистым состоянием с нулевой энтропией, но каждый спин имеет максимальную энтропию, если рассматривать его индивидуально в его приведенной матрице плотности . Энтропию в одном спине можно «отменить», сопоставив с энтропией другого. Левое неравенство можно примерно интерпретировать как утверждение, что энтропия может быть отменена только равным количеством энтропии.
Если система A и система B имеют разное количество энтропии, меньшее может только частично компенсировать большее, и некоторая энтропия должна быть оставлена. Точно так же правое неравенство можно интерпретировать как утверждение, что энтропия составной системы максимизируется, когда ее компоненты некоррелированы, и в этом случае полная энтропия является просто суммой субэнтропий. Это может быть более интуитивно понятным в формулировке фазового пространства, чем в формулировке гильбертова пространства, где энтропия фон Неймана составляет минус ожидаемое значение ★ -логарифма функции Вигнера , - f ★ log ★ f dx dp , вплоть до смещение сдвига. До этого сдвига смещения нормализации энтропия мажорится энтропией своего классического предела .
Сильная субаддитивность
Энтропия фон Неймана также сильно субаддитивна . Даны три гильбертовые , , В , С ,
Это более сложная теорема, и она была впервые доказана Дж. Кифером в 1959 году и независимо Эллиоттом Х. Либом и Мэри Бет Рускай в 1973 году с использованием матричного неравенства Эллиотта Х. Либа, доказанного в 1973 году. левой части неравенства треугольника выше, можно показать, что сильное неравенство субаддитивности эквивалентно следующему неравенству.
когда ρ AB и т. д. - приведенные матрицы плотности матрицы плотности ρ ABC . Если применить обычную субаддитивность к левой части этого неравенства и рассмотреть все перестановки A , B , C , мы получим неравенство треугольника для ρ ABC : каждое из трех чисел S ( ρ AB ), S ( ρ BC ), S ( ρ AC ) меньше или равно сумме двух других.