Расширение Лапласа (потенциал) - Laplace expansion (potential)

В физике расширение Лапласа потенциалов, которые прямо пропорциональны обратной величине расстояния ( ), таких как гравитационный потенциал Ньютона или электростатический потенциал Кулона , выражает их в терминах сферических полиномов Лежандра. В квантово-механических расчетах атомов разложение используется для вычисления интегралов межэлектронного отталкивания. ${\ displaystyle 1 / r}$

Фактически расширение Лапласа - это расширение обратного расстояния между двумя точками. Пусть точки имеют векторы положения и , тогда разложение Лапласа имеет вид ${\ displaystyle {\ textbf {r}}}$${\ displaystyle {\ textbf {r}} '}$

${\ displaystyle {\ frac {1} {| \ mathbf {r} - \ mathbf {r} '|}} = \ sum _ {\ ell = 0} ^ {\ infty} {\ frac {4 \ pi} { 2 \ ell +1}} \ sum _ {m = - \ ell} ^ {\ ell} (- 1) ^ {m} {\ frac {r _ {\ scriptscriptstyle <} ^ {\ ell}} {r _ {\ scriptscriptstyle>} ^ {\ ell +1}}} Y _ {\ ell} ^ {- m} (\ theta, \ varphi) Y _ {\ ell} ^ {m} (\ theta ', \ varphi').}$

Здесь имеет сферические полярные координаты и имеет однородные многочлены степени . Далее r _< - это min ( r , r ′), а r _> - это max ( r , r ′). Функция является нормированной сферической гармонической функцией . Разложение принимает более простой вид, если записать его в терминах сплошных гармоник : ${\ displaystyle {\ textbf {r}}}$${\ Displaystyle (г, \ тета, \ varphi)}$${\ displaystyle {\ textbf {r}} '}$${\ Displaystyle (г ', \ тета', \ varphi ')}$${\ displaystyle \ ell}$${\ displaystyle Y _ {\ ell} ^ {m}}$

${\ displaystyle {\ frac {1} {| \ mathbf {r} - \ mathbf {r} '|}} = \ sum _ {\ ell = 0} ^ {\ infty} \ sum _ {m = - \ ell } ^ {\ ell} (- 1) ^ {m} I _ {\ ell} ^ {- m} (\ mathbf {r}) R _ {\ ell} ^ {m} (\ mathbf {r} ') \ quad {\ text {with}} \ quad | \ mathbf {r} |> | \ mathbf {r} '|.}$

Вывод

Вывод этого разложения прост. По закону косинусов ,

${\ displaystyle {\ frac {1} {| \ mathbf {r} - \ mathbf {r} '|}} = {\ frac {1} {\ sqrt {r ^ {2} + (r') ^ {2 } -2rr '\ cos \ gamma}}} = {\ frac {1} {r {\ sqrt {1 + h ^ {2} -2h \ cos \ gamma}}}} \ quad {\ hbox {with}} \ quad h: = {\ frac {r '} {r}}.}$

Мы находим здесь производящую функцию многочленов Лежандра  : ${\ Displaystyle P _ {\ ell} (\ соз \ гамма)}$

${\ displaystyle {\ frac {1} {\ sqrt {1 + h ^ {2} -2h \ cos \ gamma}}} = \ sum _ {\ ell = 0} ^ {\ infty} h ^ {\ ell} P _ {\ ell} (\ cos \ gamma).}$

Использование теоремы о сложении сферических гармоник

${\ Displaystyle P _ {\ ell} (\ соз \ гамма) = {\ гидроразрыва {4 \ pi} {2 \ ell +1}} \ sum _ {m = - \ ell} ^ {\ ell} (- 1) ^ {m} Y _ {\ ell} ^ {- m} (\ theta, \ varphi) Y _ {\ ell} ^ {m} (\ theta ', \ varphi')}$

дает желаемый результат.

Расширение Неймана

Подобное уравнение было получено Нейманом, которое позволяет выразить в вытянутых сфероидальных координатах в виде ряда: ${\ displaystyle 1 / r}$

${\ displaystyle {\ frac {1} {| \ mathbf {r} - \ mathbf {r} '|}} = {\ frac {4 \ pi} {a}} \ sum _ {\ ell = 0} ^ { \ infty} \ sum _ {m = - \ ell} ^ {\ ell} (- 1) ^ {m} {\ frac {(\ ell - | m |)!} {(\ ell + | m |)! }} {\ mathcal {P}} _ {\ ell} ^ {| m |} (\ sigma _ {<}) {\ mathcal {Q}} _ {\ ell} ^ {| m |} (\ sigma _ {>}) Y _ {\ ell} ^ {m} (\ arccos \ tau, \ varphi) Y _ {\ ell} ^ {m *} (\ arccos \ tau ', \ varphi')}$

где и - связанные функции Лежандра первого и второго рода, соответственно, определенные так, что они действительны для . По аналогии с рассмотренным выше случаем сферических координат важны относительные размеры радиальных координат, такие как и . ${\ Displaystyle {\ mathcal {P}} _ {\ ell} ^ {m} (г)}$${\ Displaystyle {\ mathcal {Q}} _ {\ ell} ^ {m} (г)}$${\ Displaystyle г \ в (1, \ infty)}$${\ Displaystyle \ sigma _ {<} = \ мин (\ sigma, \ sigma ')}$${\ Displaystyle \ sigma _ {>} = \ макс (\ sigma, \ sigma ')}$

Рекомендации

• Гриффитс, Дэвид Дж. (Дэвид Джеффри). Введение в электродинамику. Энглвуд Клиффс, Нью-Джерси: Прентис-Холл, 1981.