Оператор лага - Lag operator

При анализе временных рядов оператор запаздывания (L) или оператор обратного сдвига (B) работает с элементом временного ряда для создания предыдущего элемента. Например, учитывая некоторый временной ряд

${\ Displaystyle X = \ {X_ {1}, X_ {2}, \ точки \}}$

тогда

${\ displaystyle LX_ {t} = X_ {t-1}}$ для всех ${\ displaystyle t> 1}$

или аналогично в терминах оператора обратного переключения B : для всех . Эквивалентно это определение может быть представлено как ${\ displaystyle BX_ {t} = X_ {t-1}}$${\ displaystyle t> 1}$

${\ Displaystyle X_ {t} = LX_ {t + 1}}$ для всех ${\ displaystyle t \ geq 1}$

Оператор запаздывания (а также оператор обратного сдвига) может быть увеличен до произвольной целочисленной степени, чтобы

${\ Displaystyle L ^ {- 1} X_ {t} = X_ {t + 1}}$

а также

${\ displaystyle L ^ {k} X_ {t} = X_ {tk}.}$

Полиномы запаздывания

Можно использовать полиномы оператора запаздывания, и это обычное обозначение для моделей ARMA (авторегрессивное скользящее среднее). Например,

${\ displaystyle \ varepsilon _ {t} = X_ {t} - \ sum _ {i = 1} ^ {p} \ varphi _ {i} X_ {ti} = \ left (1- \ sum _ {i = 1 } ^ {p} \ varphi _ {i} L ^ {i} \ right) X_ {t}}$

определяет модель AR ( p ).

Полином операторов лага называется лаг многочлена так , что, например, модель ARMA может быть сжато определяются как

${\ Displaystyle \ varphi (L) X_ {t} = \ theta (L) \ varepsilon _ {t}}$

где и соответственно представляют собой полиномы запаздывания ${\ displaystyle \ varphi (L)}$${\ Displaystyle \ тета (L)}$

${\ displaystyle \ varphi (L) = 1- \ sum _ {i = 1} ^ {p} \ varphi _ {i} L ^ {i}}$

а также

${\ displaystyle \ theta (L) = 1 + \ sum _ {i = 1} ^ {q} \ theta _ {i} L ^ {i}. \,}$

Полиномы операторов запаздывания подчиняются тем же правилам умножения и деления, что и числа и многочлены переменных. Например,

${\ displaystyle X_ {t} = {\ frac {\ theta (L)} {\ varphi (L)}} \ varepsilon _ {t},}$

означает то же самое, что и

${\ Displaystyle \ varphi (L) X_ {t} = \ theta (L) \ varepsilon _ {t}.}$

Как и в случае полиномов от переменных, полином в операторе запаздывания можно разделить на другой, используя полиномиальное деление в длину . В общем случае деление одного такого многочлена на другой, когда каждый из них имеет конечный порядок (наивысший показатель), приводит к многочлену бесконечного порядка.

Оператор аннуляторный , обозначаемый , удаляет запись полинома с отрицательной мощностью (значения в будущем). ${\ Displaystyle [\] _ {+}}$

Обратите внимание, что обозначает сумму коэффициентов: ${\ Displaystyle \ varphi \ влево (1 \ вправо)}$

${\ displaystyle \ varphi \ left (1 \ right) = 1- \ sum _ {i = 1} ^ {p} \ varphi _ {i}}$

Оператор разницы

В анализе временных рядов первый оператор разности: ${\ displaystyle \ nabla}$

${\ displaystyle {\ begin {align} \ nabla X_ {t} & = X_ {t} -X_ {t-1} \\\ nabla X_ {t} & = (1-L) X_ {t} ~. \ конец {выровнен}}}$

Точно так же второй оператор разности работает следующим образом:

${\ displaystyle {\ begin {align} \ nabla (\ nabla X_ {t}) & = \ nabla X_ {t} - \ nabla X_ {t-1} \\\ nabla ^ {2} X_ {t} & = (1-L) \ nabla X_ {t} \\\ nabla ^ {2} X_ {t} & = (1-L) (1-L) X_ {t} \\\ nabla ^ {2} X_ {t } & = (1-L) ^ {2} X_ {t} ~. \ End {align}}}$

Вышеупомянутый подход является обобщением для i-го разностного оператора ${\ displaystyle \ nabla ^ {i} X_ {t} = (1-L) ^ {i} X_ {t} \.}$

Условное ожидание

В стохастических процессах принято заботиться об ожидаемом значении переменной с учетом предыдущего набора информации. Позвольте быть всей информацией, которая является общеизвестной в момент времени t (это часто указывается под оператором математического ожидания); тогда ожидаемое значение реализации X , j временных шагов в будущем может быть записано эквивалентно как: ${\ displaystyle \ Omega _ {t}}$

${\ displaystyle E [X_ {t + j} | \ Omega _ {t}] = E_ {t} [X_ {t + j}].}$

С этими зависящими от времени условными ожиданиями необходимо различать оператор обратного сдвига ( B ), который регулирует только дату прогнозируемой переменной, и оператор запаздывания ( L ), который одинаково регулирует дату прогнозируемой переменной и набор информации. :

${\ Displaystyle L ^ {n} E_ {t} [X_ {t + j}] = E_ {tn} [X_ {t + jn}],}$

${\ displaystyle B ^ {n} E_ {t} [X_ {t + j}] = E_ {t} [X_ {t + jn}].}$

Смотрите также

• Авторегрессионная модель
• Модель авторегрессионного скользящего среднего
• Модель скользящего среднего
• Оператор сдвига
• Z-преобразование

Рекомендации

• Гамильтон, Джеймс Дуглас (1994). Анализ временных рядов . Издательство Принстонского университета. ISBN   0-691-04289-6 .
• Вербеек, Марно (2008). Руководство по современной эконометрике . Джон Вили и сыновья. ISBN   0-470-51769-7 .
• Вайсштейн, Эрик. "Wolfram MathWorld" . WolframMathworld: оператор разности . Wolfram Research . Проверено 10 ноября 2017 года . CS1 maint: обескураженный параметр ( ссылка )
• Коробка, Джордж EP; Jenkins, Gwilym M .; Рейнзель, Грегори С.; Юнг, Грета М. (2016). Анализ временных рядов: прогнозирование и контроль (5-е изд.). Нью-Джерси: Уайли. ISBN   978-1-118-67502-1 .