Теорема Леви о модуле непрерывности - Lévy's modulus of continuity theorem

Теорема Леви о модуле непрерывности - это теорема, которая дает результат о почти надежном поведении оценки модуля непрерывности для винеровского процесса , который используется для моделирования так называемого броуновского движения .

Теорема Леви о модуле непрерывности названа в честь французского математика Поля Леви .

Формулировка результата

Позвольте быть стандартным винеровским процессом. Тогда, почти наверняка , ${\ Displaystyle B: [0,1] \ times \ Omega \ to \ mathbb {R}}$

${\ displaystyle \ lim _ {h \ to 0} \ sup _ {t, t '\ leq 1; | t-t' | \ leq h} {\ frac {| B_ {t '} - B_ {t} | } {\ sqrt {2h \ log (1 / h)}}} = 1.}$

Другими словами, образцы траекторий броуновского движения имеют модуль непрерывности

${\ displaystyle \ omega _ {B} (\ delta) = {\ sqrt {2 \ delta \ log (1 / \ delta)}}}$

с вероятностью единица и при достаточно малых . ${\ displaystyle \ delta> 0}$

Смотрите также

• Некоторые свойства примерных путей винеровского процесса

Ссылки

• Поль Пьер Леви, Теория добавления переменных альтернатив. Готье-Виллар, Париж (1937).