Теорема Леви о непрерывности - Lévy's continuity theorem

В теории вероятностей , теорема непрерывности Леви , или теореме сходимости Леви , названной в честь французского математика Пола Леви , связывает сходимость по распределению последовательности случайных величин с точечной сходимостью их характеристических функций . Эта теорема является основой одного подхода к доказательству центральной предельной теоремы и одной из основных теорем, касающихся характеристических функций.

утверждение

Предположим, у нас есть

последовательность случайных величин , не обязательно имеющих общее вероятностное пространство , ${\ textstyle \ {X_ {n} \} _ {n = 1} ^ {\ infty}}$
последовательность соответствующих характеристических функций , которые по определению ${\ textstyle \ {\ varphi _ {n} \} _ {n = 1} ^ {\ infty}}$
${\ displaystyle \ varphi _ {n} (t) = \ operatorname {E} e ^ {itX_ {n}} \ quad \ forall t \ in \ mathbb {R}, \ \ forall n \ in \ mathbb {N} ,}$
где - оператор ожидаемого значения . ${\ displaystyle \ operatorname {E}}$

Если последовательность характеристических функций поточечно сходится к некоторой функции ${\ displaystyle \ varphi}$

{\ displaystyle \ varphi _ {n} (t) \ to \ varphi (t) \ quad \ forall t \ in \ mathbb {R},}

тогда следующие утверждения становятся эквивалентными:

${\ displaystyle X_ {n}}$ сходится по распределению к некоторой случайной величине X
${\ Displaystyle X_ {п} \ {\ xrightarrow {\ mathcal {D}}} \ X,}$
т.е. кумулятивные функции распределения, соответствующие случайным величинам, сходятся в каждой точке непрерывности CDF X ;
${\ textstyle \ {X_ {n} \} _ {n = 1} ^ {\ infty}}$ является жесткой :
${\ displaystyle \ lim _ {x \ to \ infty} \ left (\ sup _ {n} \ operatorname {P} {\ big [} \, | X_ {n} |> x \, {\ big]} \ справа) = 0;}$
${\ Displaystyle \ varphi (т)}$ - характеристическая функция некоторой случайной величины X ;
${\ Displaystyle \ varphi (т)}$ - непрерывная функция от t ;
${\ Displaystyle \ varphi (т)}$ является непрерывной при т = 0.

Имеются строгие доказательства этой теоремы.