Японская теорема для вписанных четырехугольников - Japanese theorem for cyclic quadrilaterals
В геометрии , то японская теорема утверждает , что центры окружностей , вписанные некоторых треугольники внутри циклического четырехугольника являются вершинами прямоугольника .
Триангулирование произвольного кругового четырехугольника по его диагоналям дает четыре перекрывающихся треугольника (каждая диагональ создает два треугольника). Центры вписанных окружностей этих треугольников образуют прямоугольник.
В частности, пусть □ ABCD - произвольный вписанный четырехугольник, а M 1 , M 2 , M 3 , M 4 - центры треугольников △ ABD , △ ABC , △ BCD , △ ACD . Тогда четырехугольник, образованный M 1 , M 2 , M 3 , M 4, будет прямоугольником.
Обратите внимание, что эта теорема легко расширяется для доказательства японской теоремы для циклических многоугольников . Чтобы доказать четырехугольник, просто постройте параллелограмм, касательный к углам построенного прямоугольника, со сторонами, параллельными диагоналям четырехугольника. Построение показывает, что параллелограмм представляет собой ромб, что равносильно доказательству того, что суммы радиусов вписанных окружностей, касающихся каждой диагонали, равны.
Случай четырехугольника немедленно доказывает общий случай индукцией по множеству триангулирующих разбиений общего многоугольника.
Смотрите также
использованная литература
- Мангхо Ахуджа, Ватару Уэгаки, Кайо Мацусита: В поисках японской теоремы (постскриптум)
- Теорема в разрезе узла
- Ватару Уэгаки: « Японская теорема の 起源 と 歴 史» (О происхождении и истории японской теоремы). Бюллетень департамента, научные электронные коллекции Университета Ми, 2001-03-01
- Уилфред Рейес: Применение теоремы Тибо . Forum Geometricorum, Том 2, 2002 г., стр. 183–185