Тройное произведение Якоби - Jacobi triple product

В математике , то Якоби тройное произведение представляет собой математическое тождество:

${\ displaystyle \ prod _ {m = 1} ^ {\ infty} \ left (1-x ^ {2m} \ right) \ left (1 + x ^ {2m-1} y ^ {2} \ right) \ left (1 + {\ frac {x ^ {2m-1}} {y ^ {2}}} \ right) = \ sum _ {n = - \ infty} ^ {\ infty} x ^ {n ^ {2 }} y ^ {2n},}$

для комплексных чисел x и y , с | х | <1 и y ≠ 0.

Он был введен Якоби  ( 1829 ) в его работе Fundamenta Nova Theoriae Functionum Ellipticarum .

Тождество тройного произведения Якоби является тождеством Макдональда для аффинной корневой системы типа A ₁ и формулой знаменателя Вейля для соответствующей аффинной алгебры Каца – Муди .

Характеристики

В основе доказательства Якоби лежит теорема Эйлера о пятиугольных числах , которая сама по себе является частным случаем тождества тройного произведения Якоби.

Пусть и . Тогда у нас есть ${\ displaystyle x = q {\ sqrt {q}}}$${\ displaystyle y ^ {2} = - {\ sqrt {q}}}$

${\ displaystyle \ phi (q) = \ prod _ {m = 1} ^ {\ infty} \ left (1-q ^ {m} \ right) = \ sum _ {n = - \ infty} ^ {\ infty } (- 1) ^ {n} q ^ {\ frac {3n ^ {2} -n} {2}}.}$

Тройное произведение Якоби также позволяет записать тета-функцию Якоби в виде бесконечного произведения следующим образом:

Пусть и${\ Displaystyle х = е ^ {я \ пи \ тау}}$${\ displaystyle y = e ^ {я \ pi z}.}$

Тогда тета-функция Якоби

${\ displaystyle \ vartheta (z; \ tau) = \ sum _ {n = - \ infty} ^ {\ infty} e ^ {\ pi {\ rm {i}} n ^ {2} \ tau +2 \ pi {\ rm {i}} nz}}$

можно записать в виде

${\ displaystyle \ sum _ {n = - \ infty} ^ {\ infty} y ^ {2n} x ^ {n ^ {2}}.}$

Используя идентичность тройного продукта Якоби, мы можем записать тета-функцию как произведение

${\ displaystyle \ vartheta (z; \ tau) = \ prod _ {m = 1} ^ {\ infty} \ left (1-e ^ {2m \ pi {\ rm {i}} \ tau} \ right) \ left [1 + e ^ {(2m-1) \ pi {\ rm {i}} \ tau +2 \ pi {\ rm {i}} z} \ right] \ left [1 + e ^ {(2m- 1) \ pi {\ rm {i}} \ tau -2 \ pi {\ rm {i}} z} \ right].}$

Есть много разных обозначений, используемых для выражения тройного произведения Якоби. Он принимает краткую форму, когда выражается в терминах символов q- Почхаммера :

${\ displaystyle \ sum _ {n = - \ infty} ^ {\ infty} q ^ {\ frac {n (n + 1)} {2}} z ^ {n} = (q; q) _ {\ infty } \; \ left (- {\ tfrac {1} {z}}; q \ right) _ {\ infty} \; (- zq; q) _ {\ infty},}$

где - бесконечный q- символ Почхаммера. ${\ Displaystyle (а; д) _ {\ infty}}$

Он имеет особенно элегантную форму, когда выражается в терминах тета-функции Рамануджана . Ибо это можно записать как ${\ displaystyle | ab | <1}$

${\ displaystyle \ sum _ {n = - \ infty} ^ {\ infty} a ^ {\ frac {n (n + 1)} {2}} \; b ^ {\ frac {n (n-1)} {2}} = (- a; ab) _ {\ infty} \; (- b; ab) _ {\ infty} \; (ab; ab) _ {\ infty}.}$

Доказательство

Позволять ${\ displaystyle f_ {x} (y) = \ prod _ {m = 1} ^ {\ infty} \ left (1-x ^ {2m} \ right) \ left (1 + x ^ {2m-1} y ^ {2} \ right) \ left (1 + x ^ {2m-1} y ^ {- 2} \ right)}$

Подставляя xy на y и умножая новые члены, получаем

${\ displaystyle f_ {x} (xy) = {\ frac {1 + x ^ {- 1} y ^ {- 2}} {1 + xy ^ {2}}} f_ {x} (y)}$

и, потому что , ${\ displaystyle \ textstyle 1 + {\ frac {1} {z}} = {\ frac {1} {z}} (1 + z)}$

${\ displaystyle f_ {x} (xy) = x ^ {- 1} y ^ {- 2} f_ {x} (y)}$

Поскольку f _x мероморфен для , он имеет ряд Лорана${\ displaystyle | y |> 0}$

${\ displaystyle f_ {x} (y) = \ sum _ {n = - \ infty} ^ {\ infty} c_ {n} (x) y ^ {2n}}$

что удовлетворяет

${\ displaystyle \ sum _ {n = - \ infty} ^ {\ infty} c_ {n} (x) x ^ {2n + 1} y ^ {2n} = xf_ {x} (xy) = y ^ {- 2} f_ {x} (y) = \ sum _ {n = - \ infty} ^ {\ infty} c_ {n + 1} (x) y ^ {2n}}$

так что

${\ displaystyle c_ {n + 1} (x) = c_ {n} (x) x ^ {2n + 1} = \ dots = c_ {0} (x) x ^ {(n + 1) ^ {2} }}$

и, следовательно

${\ displaystyle f_ {x} (y) = c_ {0} (x) \ sum _ {n = - \ infty} ^ {\ infty} x ^ {n ^ {2}} y ^ {2n}}$

Оценка - это более технический аспект. Один из способов - установить y = 1 и показать числитель и знаменатель ${\ Displaystyle c_ {0} (х)}$

${\ displaystyle {\ frac {1} {c_ {0} (e ^ {2i \ pi z})}} = {\ frac {\ sum \ limits _ {n = - \ infty} ^ {\ infty} e ^ {2i \ pi n ^ {2} z}} {\ prod \ limits _ {m = 1} ^ {\ infty} (1-e ^ {2i \ pi mz}) (1 + e ^ {2i \ pi ( 2м-1) z}) ^ {2}}}}$

имеют вес 1/2 модулярны относительно , так как они также 1-периодичны и ограничены в верхней полуплоскости, фактор должен быть постоянным, чтобы . ${\ displaystyle z \ mapsto - {\ frac {1} {4z}}}$${\ displaystyle c_ {0} (x) = c_ {0} (0) = 1}$

Другое доказательство дано Дж. Эндрюсом, основанным на двух тождествах Эйлера.

Об аналитическом случае см. Апостол.

использованная литература

• Питер Дж. Кэмерон, Комбинаторика: темы, методы, алгоритмы , (1994) Cambridge University Press , ISBN  0-521-45761-0
• Якоби, CGJ (1829), Fundamenta nova theoriae functionum ellipticarum (на латыни), Кенигсберг: Borntraeger, ISBN 978-1-108-05200-9, Перепечатано издательством Cambridge University Press, 2012 г.
• Карлитц , Л. (1962), Заметка о тета-формуле Якоби , Американское математическое общество.
• Райт, Е. М. (1965), «перечислительное Доказательство тождества Якоби», журнал Лондонского математического общества , Лондонское математическое общество : 55-57, DOI : 10.1112 / jlms / s1-40.1.55