Невыразимый кардинал - Ineffable cardinal

В математике из трансфинитных чисел , невыразим кардинальный определенный вид большого кардинального числа, введенный Jensen & Kunen (1969) . В следующих определениях всегда будет обычное несчетное кардинальное число . ${\ displaystyle \ kappa}$

Кардинальное число называется почти невыразимым , если для каждого (где этого Powerset из ) со свойством , что является подмножеством для всех порядковых , существует подмножество из , имеющей мощность и однородное по , в том смысле , что для любого в , . ${\ displaystyle \ kappa}$${\ Displaystyle е: \ каппа \ к {\ mathcal {P}} (\ каппа)}$${\ Displaystyle {\ mathcal {P}} (\ kappa)}$${\ displaystyle \ kappa}$${\ Displaystyle е (\ дельта)}$${\ displaystyle \ delta}$${\ Displaystyle \ дельта <\ каппа}$${\ displaystyle S}$${\ displaystyle \ kappa}$${\ displaystyle \ kappa}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle \ delta _ {1} <\ delta _ {2}}$${\ displaystyle S}$${\ displaystyle f (\ delta _ {1}) = f (\ delta _ {2}) \ cap \ delta _ {1}}$

Кардинальное число называется невыразимым , если для каждой бинарной-функции , существует стационарное подмножество из , на котором это однородное : то есть, либо отображает все неупорядоченные пары элементов , взятые из этого подмножества к нулю, или он отображает все такие неупорядоченные пары , чтобы один. Эквивалентная формулировка состоит в том, что кардинал невыразим, если для любой последовательности ⟨A _α  : α ∈ κ⟩ такой, что каждое A _α ⊆ α , существует A ⊆ κ такое, что { α ∈ κ  : A ∩ α = A _α } стационарен. в κ . ${\ displaystyle \ kappa}$${\ Displaystyle е: [\ каппа] ^ {2} \ к \ {0,1 \}}$${\ displaystyle \ kappa}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle \ kappa}$

В более общем смысле , называется -ineffable (для положительного целого числа ) , если для каждого существует стационарное подмножество , на котором это - однородное (принимает то же значение для всех неупорядоченных -кортежей взятых из подмножества). Таким образом, оно невыразимо тогда и только тогда, когда оно 2-невыразимо. ${\ displaystyle \ kappa}$${\ displaystyle n}$${\ displaystyle n}$${\ Displaystyle е: [\ каппа] ^ {п} \ к \ {0,1 \}}$${\ displaystyle \ kappa}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle n}$${\ displaystyle n}$

Совершенно невыразимое кардинал кардинал , который -ineffable для каждого . Если это -ineffable, то множество -ineffable кардиналов ниже является стационарным подмножеством . ${\ displaystyle n}$${\ Displaystyle 2 \ Leq N <\ Алеф _ {0}}$${\ displaystyle \ kappa}$${\ Displaystyle (п + 1)}$${\ displaystyle n}$${\ displaystyle \ kappa}$${\ displaystyle \ kappa}$

Каждый n -неописанный кардинал является n- почти невыразимым (с множеством n- почти невыразимых под ним стационарным), и каждый n- почти невыразимый кардинал является n -тонким (с множеством n -тонких под ним стационарно). Наименьший n -тонкий кардинал даже не является слабо компактным (и в отличие от невыразимых кардиналов, наименьший n- почти невыразимый кардинал -описуем), но n -1-невыразимые кардиналы неподвижны ниже каждого n -тонкого кардинала. ${\ displaystyle \ Pi _ {2} ^ {1}}$

Кардинал κ полностью невыразим тогда и только тогда, когда существует такое непустое , что - каждое стационарно - для каждого и существует однородное для f с . ${\ Displaystyle R \ substeq {\ mathcal {P}} (\ kappa)}$
${\ displaystyle A \ in R}$
${\ displaystyle A \ in R}$${\ Displaystyle е: [\ каппа] ^ {2} \ к \ {0,1 \}}$${\ Displaystyle B \ substeq A}$${\ Displaystyle B \ in R}$

Использование любого конечного n  > 1 вместо 2 приведет к тому же определению, поэтому совершенно невыразимые кардиналы совершенно невыразимы (и имеют большую силу согласованности ). Совершенно невыразимые кардиналы -неописуемы для любого n , но свойство быть совершенно невыразимым - невозможно . ${\ Displaystyle \ Пи _ {п} ^ {1}}$${\ displaystyle \ Delta _ {1} ^ {2}}$

Сила согласованности полностью невыразимых кардиналов ниже, чем у 1-итерационных кардиналов, которые, в свою очередь, ниже замечательных кардиналов , которые, в свою очередь, ниже кардиналов ω-Эрдеша . Список основных кардинальных аксиом по силе согласованности доступен здесь .

Смотрите также

• Список больших кардинальных свойств

Рекомендации

• Фридман, Харви (2001), "Тонкие кардиналы и линейные порядки", Анналы чистой и прикладной логики , 107 (1-3): 1-34, DOI : 10.1016 / S0168-0072 (00) 00019-1 CS1 maint: обескураженный параметр ( ссылка ) .
• Дженсен, Рональд ; Кунен, Кеннет (1969), Некоторые комбинаторные свойства L и V , неопубликованная рукопись CS1 maint: обескураженный параметр ( ссылка )

Эта статья по теории множеств незавершена . Вы можете помочь Википедии, расширив ее .

• v
• т
• е