Хеле-Шоу поток - Hele-Shaw flow

Поток Хеле-Шоу определяется как поток Стокса между двумя параллельными плоскими пластинами, разделенными бесконечно малым зазором, названный в честь Генри Селби Хеле-Шоу , изучавшего проблему в 1898 году. Различные задачи механики жидкости можно аппроксимировать потоками Хеле-Шоу и поэтому исследование этих потоков имеет большое значение. Приближение к потоку Хеле-Шоу особенно важно для микропотоков. Это связано с производственными технологиями, которые создают неглубокие плоские конфигурации, и обычно с низким числом Рейнольдса микропотоков.

Основное уравнение потоков Хеле-Шоу идентично уравнению невязкого потенциального потока и потоку жидкости через пористую среду ( закон Дарси ). Таким образом, это позволяет визуализировать этот вид потока в двух измерениях.

Математическая формулировка течений Хеле-Шоу.

Схематическое описание конфигурации Hele-Shaw.

Пусть , будут направлениями, параллельными плоским пластинам, и перпендикулярным направлением, при этом зазор между пластинами (at ). Когда зазор между пластинами асимптотически мал ${\ displaystyle x}$${\ displaystyle y}$${\ displaystyle z}$${\ displaystyle H}$${\ displaystyle z = 0, H}$

${\ Displaystyle H \ rightarrow 0, \,}$

профиль скорости в этом направлении является параболическим (т.е. является квадратичной функцией координаты в этом направлении). Уравнение, связывающее градиент давления с горизонтальной скоростью : ${\ displaystyle z}$${\ Displaystyle {\ mathbf {u}} = (и, v)}$

${\ displaystyle u = - {\ frac {1} {2 \ mu}} {\ frac {\ partial p} {\ partial x}} z (Гц) \,}$

${\ displaystyle v = - {\ frac {1} {2 \ mu}} {\ frac {\ partial p} {\ partial y}} z (Гц) \,}$

${\ Displaystyle р (х, у, т)}$- местное давление, - вязкость жидкости. В то время как величина скорости изменяется в направлении, направление вектора скорости не зависит от направления, то есть схемы линий тока на каждом уровне аналогичны. Исключая давление в приведенном выше уравнении, получаем ${\ displaystyle \ mu}$${\ displaystyle {\ sqrt {u ^ {2} + v ^ {2}}}}$${\ displaystyle z}$${\ Displaystyle \ tan ^ {- 1} (v / u)}$${\ displaystyle z}$

${\ displaystyle \ omega _ {z} = {\ frac {\ partial v} {\ partial x}} - {\ frac {\ partial u} {\ partial y}} = 0}$

где - завихренность по направлению. Таким образом, рисунки линий тока соответствуют потенциальному потоку (безвихревому потоку). В отличие от потенциального потока , здесь циркуляция вокруг любого замкнутого контура , независимо от того, охватывает ли он твердый объект или нет, равна нулю, ${\ displaystyle \ omega _ {z}}$${\ displaystyle z}$ ${\ displaystyle \ Gamma}$${\ displaystyle C}$

${\ displaystyle \ Gamma = \ oint _ {C} udx + vdy = - {\ frac {1} {2 \ mu}} z (Hz) \ oint _ {C} {\ frac {\ partial p} {\ partial x}} dx + {\ frac {\ partial p} {\ partial y}} dy = 0}$

где последний интеграл устанавливается равным нулю, поскольку является однозначной функцией, а интегрирование выполняется по замкнутому контуру. ${\ displaystyle p}$

Вертикальная скорость определяется уравнением неразрывности. Интегрируя по непрерывности, мы получаем основное уравнение потоков Хеле-Шоу, уравнение Лапласа : ${\ displaystyle w = 0}$${\ displaystyle z}$

${\ displaystyle {\ frac {\ partial ^ {2} p} {\ partial x ^ {2}}} + {\ frac {\ partial ^ {2} p} {\ partial y ^ {2}}} = 0 .}$

Это уравнение дополняется граничными условиями непроникания на боковых стенках геометрии,

${\ Displaystyle {\ mathbf {\ набла}} п \ cdot {\ шляпа {п}} = 0, \,}$

где - единичный вектор, перпендикулярный боковой стенке. ${\ Displaystyle {\ шляпа {п}}}$

Клетка Хеле-Шоу

Термин ячейка Хеле-Шоу обычно используется для случаев, когда жидкость нагнетается в мелкую геометрию сверху или снизу геометрии, и когда жидкость ограничена другой жидкостью или газом. Для таких течений граничные условия определяются давлениями и поверхностными натяжениями.

Смотрите также

• Агрегация, ограниченная диффузией
• Теория смазки
• Уравнение тонкой пленки
• Клатч Hele-Shaw

Механическая трансмиссионная муфта, изобретенная профессором Хеле-Шоу с использованием принципов потока Хеле-Шоу.

использованная литература