Потенциальный поток - Potential flow

Потенциал-поток ток вокруг NACA 0012 аэродинамического профиля при 11 ° угол атаки , с верхними и нижними streamtubes идентифицированы.

В динамике жидкости , потенциальный поток описывает поле скоростей как градиент скалярной функции: от потенциала скорости . В результате потенциальный поток характеризуется безвихревым полем скорости , что является допустимым приближением для нескольких приложений. Невращаемость потенциального потока обусловлена ​​тем, что ротор градиента скаляра всегда равен нулю.

В случае несжимаемого потока потенциал скорости удовлетворяет уравнению Лапласа , и применима теория потенциала . Однако потенциальные потоки также использовались для описания сжимаемых потоков . Подход потенциального потока применяется при моделировании как стационарных, так и нестационарных потоков. Примеры применения потенциального потока: внешнее поле потока для аэрокрыльев , водные волны , электроосмотический поток и поток грунтовых вод . Для потоков (или их частей) с сильными эффектами завихренности приближение потенциального потока не применимо.

Характеристики и применение

Потенциальный поток строится путем добавления простых элементарных потоков и наблюдения за результатом.
Упрощает для несжимаемой потенциального обтекания кругового цилиндра в однородном. Приток воды

Описание и характеристики

В гидродинамике потенциальный поток описывается с помощью потенциала скорости φ , который является функцией пространства и времени. Скорость потока v представляет собой векторное поле, равное градиенту потенциала скорости φ :

Иногда также используется определение v = −∇ φ со знаком минус. Но здесь мы будем использовать определение, приведенное выше, без знака минус. Из векторного исчисления известно, что ротор градиента равен нулю:

и , следовательно, завихренности , то ротор поля скоростей V , равна нулю:

Это означает, что потенциальный поток - это безвихревой поток . Это имеет прямые последствия для применимости потенциального потока. В областях течения, где, как известно, важна завихренность, таких как следы и пограничные слои , теория потенциального течения не может дать разумные прогнозы течения. К счастью, часто существуют большие области потока, в которых допущение о безвихревости справедливо, поэтому потенциальный поток используется в различных приложениях. Например, в обтекании самолета , потоке грунтовых вод , акустике , волнах на воде и электроосмотическом потоке .

Несжимаемый поток

В случае несжимаемого потока - например, жидкости или газа при малых числах Маха ; но не для звуковых волн - скорость v имеет нулевую дивергенцию :

с точкой, обозначающей внутренний продукт . В результате потенциал скорости φ должен удовлетворять уравнению Лапласа

где 2 = ∇ ⋅ ∇ - оператор Лапласа (иногда также пишется Δ ). В этом случае течение может быть полностью определено из его кинематики : предположения о безвихревости и нулевой дивергенции потока. После этого динамику нужно применять только в том случае, если кто-то заинтересован в вычислении давления: например, для обтекания аэродинамических поверхностей с использованием принципа Бернулли .

В двух измерениях потенциальный поток сводится к очень простой системе, которая анализируется с помощью комплексного анализа (см. Ниже).

Сжимаемый поток

Установившееся течение

Теория потенциального потока также может использоваться для моделирования безвихревого сжимаемого потока. Полный потенциал уравнение , описывающее постоянный поток , определяется по формуле:

с компонентами числа Маха

где а - местная скорость звука . Скорость потока v снова равна ∇Φ , а Φ - потенциал скорости. Полное потенциальное уравнение действительно для суб- , транс- и сверхзвукового потока при произвольном угле атаки , если применимо предположение о безвихревости.

В случае дозвукового или сверхзвукового (но не трансзвукового или гиперзвукового ) потока при малых углах атаки и тонких телах можно сделать дополнительное предположение: потенциал скорости расщепляется на невозмущенную скорость потока V в направлении x , и его малая скорость возмущения φ . Так:

В этом случае можно использовать линеаризованное уравнение потенциала малых возмущений - приближение к уравнению полного потенциала:

с M = V /а число Маха набегающего набегающего потока. Это линейное уравнение намного проще решить, чем полное уравнение потенциала: его можно преобразовать в уравнение Лапласа простым растяжением координат в направлении оси x .

Вывод полного уравнения потенциала  -

Для установившегося невязкого потока уравнения Эйлера - для плотности массы и количества движения - в нижнем индексе и в форме без сохранения :

при использовании соглашения о суммировании : поскольку j встречается более одного раза в члене в левой части уравнения импульса, j суммируется по всем его компонентам (что составляет от 1 до 2 в двумерном потоке и от 1 до 3 в трех измерениях). Дальше:

  • ρ - плотность жидкости ,
  • p - давление ,
  • ( x 1 , x 2 , x 3 ) = ( x , y , z ) - координаты и
  • ( v 1 , v 2 , v 3 ) - соответствующие компоненты вектора скорости v .

Скорость звука в квадрате a 2 равна производной давления p по плотности ρ при постоянной энтропии S :

В результате уравнения потока можно записать как:

Умножение (и суммирование) уравнения количества движения на v i и использование уравнения массы для устранения градиента плотности дает:

При делении на ρ и со всеми членами на одной стороне уравнения уравнение сжимаемого потока имеет следующий вид:

Обратите внимание, что до этого этапа не было сделано никаких предположений относительно потока (кроме того, что это постоянный поток ).

Теперь для безвихревого потока скорость v является градиентом потенциала скорости Φ , а компоненты местного числа Маха M i определяются как:

При использовании в уравнении потока получается полное уравнение потенциала:

Расписанный по компонентам, получается форма, приведенная в начале этого раздела. Когда предоставляется конкретное уравнение состояния , связывающее давление p и плотность ρ , можно определить скорость звука. Впоследствии, вместе с соответствующими граничными условиями, может быть решено полное потенциальное уравнение (чаще всего с использованием кода вычислительной гидродинамики ).

Неустойчивый поток

Теория потенциального потока также может использоваться для моделирования безвихревого сжимаемого потока. Полный потенциал уравнение , описывающее нестационарный поток, определяется по формуле:

с компонентами числа Маха

где а - местная скорость звука . Скорость потока v снова равна ∇Φ , а Φ - потенциал скорости. Полное потенциальное уравнение действительно для суб- , транс- и сверхзвукового потока при произвольном угле атаки , если применимо предположение о безвихревости.

В случае дозвукового или сверхзвукового (но не трансзвукового или гиперзвукового ) потока при малых углах атаки и тонких телах можно сделать дополнительное предположение: потенциал скорости расщепляется на невозмущенную скорость потока V в направлении x , и его малая скорость возмущения φ . Так:

В этом случае можно использовать линеаризованное уравнение потенциала малых возмущений - приближение к уравнению полного потенциала:

с M =V /а число Маха набегающего набегающего потока.

Вывод полного уравнения потенциала  -

Начнем с уравнения сохранения массы

Рассмотрим первый член. Используя принцип Бернулли, мы пишем

Аналогичным образом можно записать второй член

Собирая члены и переставляя, уравнение сохранения массы становится

Звуковые волны

Звуковые волны малой амплитуды можно аппроксимировать следующей моделью потенциального потока:

которое является линейным волновым уравнением для потенциала скорости φ . Опять же, колебательная часть вектора скорости v связана с потенциалом скорости соотношением v = ∇ φ , в то время как, как и раньше, Δ - это оператор Лапласа , а ā - средняя скорость звука в однородной среде . Обратите внимание, что колебательные части давления p и плотности ρ каждая в отдельности удовлетворяют волновому уравнению в этом приближении.

Применимость и ограничения

Потенциальный поток не включает все характеристики потоков, которые встречаются в реальном мире. Теория потенциального течения не может применяться для вязких внутренних течений , за исключением течений между близко расположенными пластинами . Ричард Фейнман считал потенциальный поток настолько нефизическим, что единственной жидкостью, которая подчинялась предположениям, была «сухая вода» (цитируя Джона фон Неймана). Несжимаемый потенциальный поток также делает ряд неверных предсказаний, таких как парадокс Даламбера , который утверждает, что сопротивление любого объекта, движущегося через бесконечную жидкость, в противном случае в состоянии покоя равно нулю. Точнее, потенциальный поток не может учитывать поведение потоков, которые включают пограничный слой . Тем не менее понимание потенциального потока важно во многих разделах механики жидкости. В частности, простые потенциальные потоки (называемые элементарными потоками ), такие как свободный вихрь и точечный источник, имеют готовые аналитические решения. Эти решения можно совмещать для создания более сложных потоков, удовлетворяющих множеству граничных условий. Эти потоки близко соответствуют реальным потокам всей механики жидкости; кроме того, многие ценные идеи возникают при рассмотрении отклонения (часто небольшого) между наблюдаемым потоком и соответствующим потенциальным потоком. Потенциальный поток находит множество применений в таких областях, как проектирование самолетов. Например, в вычислительной гидродинамике один метод состоит в том, чтобы связать решение потенциального потока за пределами пограничного слоя с решением уравнений пограничного слоя внутри пограничного слоя. Отсутствие эффектов пограничного слоя означает, что любую линию тока можно заменить твердой границей без изменения поля потока, метод, используемый во многих подходах к аэродинамическому проектированию. Другой прием - использование тел Рябушинского .

Анализ двумерного потока

Потенциал поток в двух измерениях прост для анализа с помощью конформного отображения , при использовании преобразований в комплексной плоскости . Однако использование комплексных чисел не требуется, как, например, в классическом анализе потока жидкости мимо цилиндра. Невозможно решить потенциальный поток, используя комплексные числа в трех измерениях.

Основная идея состоит в том, чтобы использовать голоморфную (также называемую аналитической ) или мероморфную функцию f , которая отображает физическую область ( x , y ) в преобразованную область ( φ , ψ ) . Хотя x , y , φ и ψ являются действительными значениями , удобно определить комплексные величины

Теперь, если мы запишем отображение f как

Тогда, поскольку f является голоморфной или мероморфной функцией, она должна удовлетворять уравнениям Коши – Римана

Компоненты скорости ( u , v ) в направлениях ( x , y ) соответственно могут быть получены непосредственно из f путем дифференцирования по z . То есть

Таким образом, поле скорости v = ( u , v ) задается формулой

Оба φ и ψ , то Satisfy уравнение Лапласа :

Таким образом, φ можно определить как потенциал скорости, а ψ - функцию тока . Линии постоянного ψ известны как линии тока, а линии постоянного φ - как эквипотенциальные линии (см. Эквипотенциальную поверхность ).

Линии тока и эквипотенциальные линии ортогональны друг другу, так как

Таким образом, течение происходит по линиям постоянного ψ и перпендикулярно линиям постоянного φ .

Δ ψ = 0 также выполняется, что эквивалентно × v = 0 . Итак, поток является безвихревым. Автоматическое состояние2 Ψ/ху знак равно 2 Ψ/yxтогда дает ограничение несжимаемости ∇ · v = 0 .

Примеры двумерных течений

Для f может использоваться любая дифференцируемая функция . В следующих примерах используются различные элементарные функции ; также могут использоваться специальные функции . Обратите внимание, что можно использовать многозначные функции, такие как натуральный логарифм , но внимание должно быть сосредоточено на одной римановой поверхности .

Законы власти

Примеры конформных отображений для степенного закона w = Az n
Примеры конформных отображений для степенного закона w = Az n для различных значений мощности n . Показана плоскость z , показывающая линии постоянного потенциала φ и функции тока ψ , в то время как w = φ + .

В случае применения следующего степенного конформного отображения от z = x + iy до w = φ + :

тогда, записав z в полярных координатах как z = x + iy = re , мы имеем

На рисунках справа приведены примеры для нескольких значений n . Черная линия - это граница потока, более темные синие линии - это линии тока, а более светлые синие линии - это эквипотенциальные линии. Некоторые интересные полномочия п являются:

  • п =1/2: это соответствует обтеканию полубесконечной пластины,
  • п =2/3: обтекайте правый угол,
  • n = 1 : тривиальный случай равномерного потока,
  • n = 2 : поток через угол или около точки застоя, и
  • n = −1 : поток за счет дублета источника

Константа A является параметром масштабирования: ее абсолютное значение | А | определяет масштаб, а его аргумент arg ( A ) вводит поворот (если не равен нулю).

Степенные законы с n = 1 : равномерный поток

Если w = Az 1 , то есть степенной закон с n = 1 , линии тока (то есть линии постоянной ψ ) представляют собой систему прямых линий, параллельных оси x . Проще всего это увидеть, написав в терминах реальных и мнимых компонентов:

таким образом давая φ = Ax и ψ = Ay . Этот поток можно интерпретировать как равномерный поток, параллельный оси x .

Степенные законы с n = 2

Если n = 2 , то w = Az 2 и линия тока, соответствующая конкретному значению ψ, - это те точки, которые удовлетворяют

представляющая собой систему прямоугольных гипербол . Это можно увидеть, снова переписав реальную и мнимую составляющие. Отметив, что sin 2 θ = 2 sin θ cos θ и переписав sin θ =у/ри cos θ =Икс/р видно (при упрощении), что линии тока задаются

Поле скоростей задается ф или

В гидродинамике поле течения около начала координат соответствует точке торможения . Обратите внимание, что жидкость в начале координат покоится (это следует из дифференцирования f (z) = z 2 при z = 0 ). Ψ = 0 обтекаемого особенно интересно: она имеет два (или четыре) ветви, следуя ось координат, то есть х = 0 и у = 0 . Поскольку жидкость не течет через ось x , ее ( ось x ) можно рассматривать как твердую границу. Таким образом, можно игнорировать поток в нижней полуплоскости, где y <0, и сосредоточиться на потоке в верхней полуплоскости. Согласно этой интерпретации, поток - это поток вертикально направленной струи, падающей на горизонтальную плоскую пластину. Поток также можно интерпретировать как поток в угол 90 градусов, если области, указанные (скажем) x , y <0 , игнорируются.

Степенные законы с n = 3

Если n = 3 , результирующий поток представляет собой своего рода гексагональную версию случая n = 2, рассмотренного выше. Линии тока задаются выражением ψ = 3 x 2 y - y 3, и поток в этом случае можно интерпретировать как поток в угол 60 °.

Степенные законы с n = −1 : дублет

Если n = −1 , линии тока задаются формулой

Это легче интерпретировать с точки зрения реальных и мнимых компонентов:

Таким образом, линии тока представляют собой окружности , которые касаются оси x в начале координат. Таким образом, круги в верхней полуплоскости текут по часовой стрелке, а круги в нижней - против часовой стрелки. Обратите внимание, что компоненты скорости пропорциональны r −2 ; и их значения в начале координат бесконечны. Такой режим течения обычно называют дуплетом или диполем , и его можно интерпретировать как комбинацию пары источник-сток бесконечной силы, находящейся на бесконечно малом расстоянии друг от друга. Поле скорости определяется выражением

или в полярных координатах:

Степенные законы с n = −2 : квадруполь

Если n = −2 , линии тока задаются формулой

Это поле течения, связанное с квадруполем .

Линейный источник и приемник

Линейный источник или сток силы ( для источника и для стока) задается потенциалом

где фактически - объемный поток на единицу длины на поверхности, окружающей источник или сток. Поле скоростей в полярных координатах равно

т.е. чисто радиальный поток.

Линия вихря

Линейный вихрь силы определяется выражением

где - циркуляция вокруг любого простого замкнутого контура, охватывающего вихрь. Поле скоростей в полярных координатах равно

т.е. чисто азимутальный поток.

Анализ трехмерного потока

Для трехмерных течений невозможно получить комплексный потенциал.

Точечный источник и сток

Потенциал скорости точечного источника или стока силы ( для источника и для стока) в сферических полярных координатах определяется выражением

где фактически - объемный поток через замкнутую поверхность, окружающую источник или сток. Поле скорости в сферических полярных координатах равно

Смотрите также

Примечания

использованная литература

дальнейшее чтение

внешние ссылки