Модель Гросса – Невё - Gross–Neveu model

Гросс-Невё модель является квантовая теория поля модель Дирака фермионов , взаимодействующих с помощью четырех фермионное взаимодействий в размерности 1 пространственных и 1 раз. Она была представлена ​​в 1974 году Дэвидом Гроссом и Андре Невё как игрушечная модель для квантовой хромодинамики , теории сильных взаимодействий.

Она состоит из N фермионов Дирака, ψ ₁ , ..., ф _N . Плотность лагранжиана равна

${\ displaystyle {\ mathcal {L}} = {\ bar {\ psi}} _ {a} \ left (i \ partial \! \! \! / - m \ right) \ psi ^ {a} + {\ гидроразрыв {g ^ {2}} {2N}} \ left [{\ bar {\ psi}} _ {a} \ psi ^ {a} \ right] ^ {2}}$

используя обозначение суммирования Эйнштейна, где g - константа связи . Если масса m отлична от нуля, модель классически массивна, в противном случае она обладает киральной симметрией .

Эта модель обладает глобальной внутренней симметрией U (N) . Если взять N = 1 (что допускает только одно взаимодействие четвертой степени) и не предпринять попыток аналитического продолжения измерения , модель сведется к массивной модели Тирринга (которая полностью интегрируема).

Это 2-мерная версия 4-мерной модели Намбу – Йона-Лазинио (NJL), которая была представлена ​​14 годами ранее как модель динамического нарушения киральной симметрии (но без ограничения кварков ), смоделированная на основе теории сверхпроводимости БКШ . Преимущество 2-мерной версии состоит в том, что 4-ферми-взаимодействие можно перенормировать, чего нельзя сказать о большем числе измерений.

Особенности теории

Гросс и Невё изучили эту модель в пределе больших N, расширение соответствующих параметров в / расширении 1 N . После демонстрации того, что эта и связанные с ней модели являются асимптотически свободными, они обнаружили, что в порядке субсидирования для малых масс фермионов бифермионный конденсат приобретает вакуумное математическое ожидание (VEV), и в результате фундаментальные фермионы становятся массивными. Они обнаружили, что масса не аналитична в константе связи g. Вакуумное математическое ожидание спонтанно нарушает киральную симметрию теории. ${\ displaystyle {\ overline {\ psi}} _ {a} \ psi ^ {a}}$

Точнее говоря, расширяясь около вакуума без ожидаемого значения вакуума для билинейного конденсата, они обнаружили тахион. Для этого они решают уравнения ренормализационной группы для пропагатора бифермионного поля, используя тот факт, что единственная перенормировка константы связи происходит из перенормировки волновой функции составного поля. Затем они рассчитаны, в старшем порядке в / расширении 1 N , но для всех порядков по константе связи, зависимость потенциальной энергии от конденсата , используя эффективные действия методов введена в предыдущем году Сидни Коулман в Эриче Международной летней школе Физика. Они обнаружили, что этот потенциал минимизируется при ненулевом значении конденсата, что указывает на истинное значение конденсата. Расширяя теорию о новом вакууме, было обнаружено, что тахиона больше нет, и на самом деле, как и в теории сверхпроводимости БКШ, существует массовая щель .

Затем они выдвинули ряд общих аргументов относительно динамической генерации массы в квантовых теориях поля. Например, они продемонстрировали, что не все массы могут динамически генерироваться в теориях, устойчивых к инфракрасному излучению, используя это, чтобы доказать, что, по крайней мере, в ведущем порядке по 1 / N, 4-мерная теория не существует. Они также утверждали, что в асимптотически свободных теориях динамически генерируемые массы никогда не зависят аналитически от констант связи . ${\ displaystyle \ phi ^ {4}}$

Обобщения

Гросс и Невё рассмотрели несколько обобщений. Сначала они рассмотрели лагранжиан с одним дополнительным взаимодействием четвертой степени.

${\ displaystyle {\ mathcal {L}} = {\ bar {\ psi}} _ {a} \ left (i \ partial \! \! \! / - m \ right) \ psi ^ {a} + {\ гидроразрыв {g ^ {2}} {2N}} (\ left [{\ bar {\ psi}} _ {a} \ psi ^ {a} \ right] ^ {2} - \ left [{\ bar {\ psi}} _ {a} \ gamma _ {5} \ psi ^ {a} \ right] ^ {2})}$

выбрана так, чтобы дискретная киральная симметрия исходной модели была усилена до непрерывной киральной симметрии со значением U (1) . Нарушение киральной симметрии происходит, как и раньше, из-за того же VEV. Однако, поскольку спонтанно нарушенная симметрия теперь является непрерывной, в спектре появляется безмассовый бозон Голдстоуна . Хотя это не приводит к проблемам в главном порядке в 1 / N-разложении, безмассовые частицы в двумерных квантовых теориях поля неизбежно приводят к инфракрасным расходимостям, и поэтому теории, похоже, не существует. ${\ displaystyle \ psi \ rightarrow \ gamma _ {5} \ psi}$${\ displaystyle \ psi \ rightarrow e ^ {я \ theta \ gamma _ {5}} \ psi}$

Затем были рассмотрены две дальнейшие модификации модифицированной теории, решающие эту проблему. В одной модификации увеличивается количество габаритов. В результате безмассовое поле не приводит к расходимостям. В другой модификации проводится калибровка киральной симметрии. В результате бозон Голстона съедается механизмом Хиггса, когда фотон становится массивным, и поэтому не приводит к каким-либо расхождениям.

Смотрите также

• Уравнение Дирака
• Нелинейное уравнение Дирака
• Модель Тирринга
• Модель Намбу – Йона-Лазинио

Ссылки