Геодезическая кривизна - Geodesic curvature

В римановой геометрии , то геодезическая кривизна кривой мер , как далеко кривая от того , чтобы быть геодезической . Например, для одномерных кривых на двухмерной поверхности, встроенной в трехмерное пространство , это кривизна кривой, спроецированной на касательную плоскость поверхности. В более общем смысле , в данном многообразии , то геодезическая кривизна просто обычная кривизна из (смотри ниже). Тем не менее, когда кривая ограничена лежит на подмногообразие из (например , для кривых на поверхностях ), геодезическая кривизна относится к кривизне в и она отличается в целом от кривизны в окружающем коллекторе . (Окружающая среда) кривизна от зависит от двух факторов: кривизна подмногообразия в направлении (далее нормальная кривизна ), которая зависит только от направления кривого, а кривизна видны в (геодезической кривизне ), которая является количество второго заказа. Связь между ними есть . В частности, геодезические на имеют нулевую геодезическую кривизну (они «прямые»), так что это объясняет, почему они кажутся искривленными в окружающем пространстве всякий раз, когда такое подмногообразие. ${\ displaystyle k_ {g}}$ ${\ displaystyle \ gamma}$ ${\ displaystyle {\ bar {M}}}$ ${\ displaystyle \ gamma}$ ${\ displaystyle \ gamma}$ ${\ displaystyle M}$ ${\ displaystyle {\ bar {M}}}$ ${\ displaystyle \ gamma}$ ${\ displaystyle M}$ ${\ displaystyle \ gamma}$ ${\ displaystyle {\ bar {M}}}$ ${\ displaystyle k}$ ${\ displaystyle \ gamma}$ ${\ displaystyle M}$ ${\ displaystyle \ gamma}$ ${\ displaystyle k_ {n}}$ ${\ displaystyle \ gamma}$ ${\ displaystyle M}$ ${\ displaystyle k_ {g}}$ ${\ displaystyle к = {\ sqrt {k_ {g} ^ {2} + k_ {n} ^ {2}}}}$ ${\ displaystyle M}$ ${\ Displaystyle к = к_ {п}}$

Определение

Рассмотрим кривую в многообразии , параметризованную длиной дуги , с единичным касательным вектором . Ее кривизна норма ковариантной производной от : . Если лежит на , геодезическая кривизна - это норма проекции ковариантной производной на касательное пространство к подмногообразию. Наоборот, нормальная кривизна - это норма проекции на нормальное расслоение на подмногообразие в рассматриваемой точке. ${\ displaystyle \ gamma}$ ${\ displaystyle {\ bar {M}}}$ ${\ displaystyle T = d \ gamma / ds}$ ${\ displaystyle T}$ ${\ Displaystyle к = \ | DT / DS \ |}$ ${\ displaystyle \ gamma}$ ${\ displaystyle M}$ ${\ displaystyle DT / ds}$ ${\ displaystyle DT / ds}$

Если объемлющее многообразие является евклидовым пространством , то ковариантная производная - это просто обычная производная . ${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {п}}$ ${\ displaystyle DT / ds}$ ${\ displaystyle dT / ds}$

пример

Позвольте быть единичной сфере в трехмерном евклидовом пространстве. Нормальная кривизна равна 1 независимо от рассматриваемого направления. Большие круги имеют кривизну , поэтому они имеют нулевую геодезическую кривизну и, следовательно, являются геодезическими. Меньшие круги радиуса будут иметь кривизну и геодезическую кривизну . ${\ displaystyle M}$ ${\ Displaystyle S ^ {2}}$ ${\ Displaystyle S ^ {2}}$ ${\ displaystyle k = 1}$ ${\ displaystyle r}$ ${\ displaystyle 1 / r}$ ${\ displaystyle k_ {g} = {\ frac {\ sqrt {1-r ^ {2}}} {r}}}$

Некоторые результаты, касающиеся геодезической кривизны

Геодезическая кривизна есть не что иное, как обычная кривизна кривой, вычисляемая внутренне в подмногообразии . Это не зависит от того , как Подмногообразие сидит в . ${\ displaystyle M}$ ${\ displaystyle M}$ ${\ displaystyle {\ bar {M}}}$
Геодезические имеют нулевую геодезическую кривизну, что равносильно утверждению, что они ортогональны касательному пространству к . ${\ displaystyle M}$ ${\ displaystyle DT / ds}$ ${\ displaystyle M}$
С другой стороны, нормальная кривизна сильно зависит от того, как подмногообразие лежит в окружающем пространстве, но незначительно от кривой: зависит только от точки на подмногообразии и направления , но не от . ${\ displaystyle k_ {n}}$ ${\ displaystyle T}$ ${\ displaystyle DT / ds}$
В общей римановой геометрии, производная вычисляется с использованием соединения Леви-Чивита окружающим коллектора: . Он распадается на часть касательной и нормальную часть к подмногообразию: . Касательная часть - это обычная производная в (это частный случай уравнения Гаусса в уравнениях Гаусса-Кодацци ), а нормальная часть - это , где обозначает вторую фундаментальную форму . ${\ displaystyle {\ bar {\ nabla}}}$ ${\ displaystyle DT / ds = {\ bar {\ nabla}} _ {T} T}$ ${\ displaystyle {\ bar {\ nabla}} _ {T} T = \ nabla _ {T} T + ({\ bar {\ nabla}} _ {T} T) ^ {\ perp}}$ ${\ displaystyle \ nabla _ {T} T}$ ${\ displaystyle M}$ ${\ Displaystyle \ mathrm {I \! I} (Т, Т)}$ ${\ displaystyle \ mathrm {I \! I}}$
Теорема Гаусса – Бонне .