Теорема Гельфанда – Наймарка - Gelfand–Naimark theorem

В математике , то Гельфанд-Наймарка теорема утверждает , что любой C * -алгебра изометрический * -изоморфна C * -подалгебра ограниченных операторов на гильбертовом пространстве . Этот результат был доказан Израилем Гельфандом и Марком Наймарком в 1943 году и стал важным моментом в развитии теории C * -алгебр, поскольку он установил возможность рассмотрения C * -алгебры как абстрактной алгебраической сущности без ссылки на конкретные реализации. как операторная алгебра .

Подробности

Представление π Гельфанда-Наймарка является прямой суммой представлений л _е в А , где F пробегает множество чистых состояний А и П _е является неприводимым представлением , связанный с F по конструкции ГНС . Таким образом, представление Гельфанда – Наймарка действует на гильбертовую прямую сумму гильбертовых пространств H _f формулой

${\ displaystyle \ pi (x) [\ bigoplus _ {f} H_ {f}] = \ bigoplus _ {f} \ pi _ {f} (x) H_ {f}.}$

π ( x ) - линейный ограниченный оператор, поскольку он представляет собой прямую сумму семейства операторов, каждый из которых имеет норму ≤ || х ||.

Теорема . Представление Гельфанда – Наймарка C * -алгебры является изометрическим * -представлением.

Достаточно показать, что отображение π инъективно , поскольку для * -морфизмов C * -алгебр инъективность влечет изометричность. Пусть х будет ненулевой элемент A . По теореме Крейна о продолжении для положительных линейных функционалов существует состояние f на A такое, что f ( z ) ≥ 0 для всех неотрицательных z в A и f (- x * x ) <0. Рассмотрим GNS-представление π _f с циклическим вектором ξ. С

${\ Displaystyle {\ begin {align} \ | \ pi _ {f} (x) \ xi \ | ^ {2} & = \ langle \ pi _ {f} (x) \ xi \ mid \ pi _ {f } (x) \ xi \ rangle = \ langle \ xi \ mid \ pi _ {f} (x ^ {*}) \ pi _ {f} (x) \ xi \ rangle \\ [6pt] & = \ langle \ xi \ mid \ pi _ {f} (x ^ {*} x) \ xi \ rangle = f (x ^ {*} x)> 0, \ end {align}}}$

отсюда следует, что π _f (x) ≠ 0, поэтому π (x) ≠ 0, поэтому π инъективно.

Конструкция Гельфанда-Наймарка представления зависит только от конструкции ГНС и , следовательно , имеет смысл для любого банаховом * -алгебры A , имеющий приблизительную идентичность . В общем случае (когда A не является C * -алгеброй) это не будет точным представлением . Замыкание образа л ( А ) будет С * -алгеброй операторов называется C * -enveloping алгебры из A . Эквивалентные мы можем определить C * -enveloping алгебры следующим образом : Определить реальную функцию на А по

${\ displaystyle \ | x \ | _ {\ operatorname {C} ^ {*}} = \ sup _ {f} {\ sqrt {f (x ^ {*} x)}}}$

а е пробегает чистые состояния A . Это полнормы, которую мы называем C * полнормы из A . Множество I элементов A , полунорма которого равна 0, образует двусторонний идеал в A, замкнутый относительно инволюции. Таким образом, фактор-векторное пространство A / I является инволютивной алгеброй и норма

${\ Displaystyle \ | \ cdot \ | _ {\ OperatorName {C} ^ {*}}}$

факторов через норму на A / I , которая, за исключением полноты, является нормой C * на A / I (иногда их называют пре-C * -нормами). Принимая завершение А / Я относительно этого пру-C * -норм производит C * -алгебра B .

По теореме Крейна – Мильмана без особого труда можно показать, что для x элемент банаховой * -алгебры A, имеющий приближенное тождество:

${\ displaystyle \ sup _ {f \ in \ operatorname {State} (A)} f (x ^ {*} x) = \ sup _ {f \ in \ operatorname {PureState} (A)} f (x ^ { *}Икс).}$

Отсюда следует, что эквивалентной формой C * нормы на A является взятие вышеуказанной супремума по всем состояниям.

Универсальная конструкция используется также для определения универсальных C * -алгебр изометрий.

Замечание . Представление Гельфанда или изоморфизм Гельфанда для коммутативной C * -алгебры с единицей является изометрическим * -изоморфизмом из в алгебру непрерывных комплекснозначных функций на пространстве мультипликативных линейных функционалов, которые в коммутативном случае являются в точности чистыми состояниями, из А со слабой * топологии. ${\ displaystyle A}$${\ displaystyle A}$

Смотрите также

• Строительство ГНС
• Теорема факторизации Стайнспринга
• Теорема Гельфанда – Райкова.
• Двойственность Таннаки – Крейна

использованная литература

• И. М. Гельфанд , М. А. Наймарк (1943). «О вложении нормированных колец в кольцо операторов в гильбертовом пространстве» . Мат. Сборник . 12 (2): 197–217.(также доступно в Google Книгах )
• Диксмье, Жак (1969), Les C * -algèbres et leurs , Готье-Виллар, ISBN 0-7204-0762-1, также имеется на английском языке в прессе Северной Голландии, см., в частности, разделы 2.6 и 2.7.