Плоская крышка - Flat cover

В алгебре плоское покрытие модуля M над кольцом - это сюръективный гомоморфизм плоского модуля F в M, который в некотором смысле минимален. Любой модуль над кольцом имеет плоское покрытие, единственное с точностью до (неединственного) изоморфизма. Плоские покрытия в некотором смысле двойственны инъективным оболочкам и связаны с проективными покрытиями и покрытиями без кручения .

Определения

Гомоморфизм F → M определяется как плоское покрытие M, если он сюръективен, F плоский, каждый гомоморфизм из плоского модуля в M пропускается через F , и любое отображение из F в F, коммутирующее с отображением в M, является автоморфизмом из F .

История

Хотя проективные покрытия для модулей не всегда существуют, предполагалось, что для общих колец каждый модуль будет иметь плоское покрытие. Эта гипотеза о плоском покрытии была впервые явно сформулирована в ( Enochs 1981 , p 196). Гипотеза оказалась верной, положительно разрешенной и одновременно доказанной Биканом, Эль-Баширом и Енохсом (2001) . Этому предшествовали важные вклады П. Эклофа, Дж. Трлифая и Дж. Сюй.

Минимальные плоские разрешения

Любой модуль M над кольцом имеет разрешение плоскими модулями

→ F 2 → F 1 → F 0 → M → 0

такое, что каждое F n +1 является плоским покрытием ядра F n → F n −1 . Такое разрешение уникально с точностью до изоморфизма и является минимальным плоским разрешением в том смысле, что через него проходит любое плоское разрешение M. Любой гомоморфизм модулей продолжается до гомоморфизма между соответствующими плоскими резольвентами, хотя это расширение, вообще говоря, не единственно.

Рекомендации

  • Enochs, Эдгар E. (1981), "Инъективные и плоские крышки, конверты и резольвенты", Израиль Журнал математики , 39 (3): 189-209, DOI : 10.1007 / BF02760849 , ISSN  0021-2172 , МР  0636889
  • Bican, L .; Эль Башир, Р .; Enochs, E. (2001), "Все модули имеют плоские крышки", Бюллетень Лондонского математического общества , 33 (4): 385-390, DOI : 10,1017 / S0024609301008104 , ISSN  0024-6093 , МР  1832549
  • "Плоская крышка" , Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]
  • Xu, Jinzhong (1996), плоские крышки модулей , Lecture Notes в области математики, 1634 , Берлин: Springer-Verlag, DOI : 10.1007 / BFb0094173 , ISBN 3-540-61640-3, Руководство по ремонту  1438789