Приближения эффективной среды - Effective medium approximations

Приближения эффективной среды ( EMA ) или теории эффективной среды ( EMT ) относятся к аналитическому или теоретическому моделированию, которое описывает макроскопические свойства композиционных материалов . EMA или EMT разрабатываются путем усреднения нескольких значений компонентов, которые непосредственно составляют композитный материал. На уровне компонентов значения материалов различаются и неоднородны . Точный расчет многих составляющих значений практически невозможен. Однако были разработаны теории, которые могут давать приемлемые приближения, которые, в свою очередь, описывают полезные параметры, включая эффективную диэлектрическую проницаемость и проницаемость материалов в целом. В этом смысле приближения эффективной среды представляют собой описания среды (композитного материала), основанные на свойствах и относительных долях его компонентов и получаемые из расчетов и теории эффективной среды . Есть две широко используемые формулы.

Эффективная диэлектрическая проницаемость и магнитная проницаемость - это усредненные диэлектрические и магнитные характеристики микронеоднородной среды. Оба они получены в квазистатическом приближении, когда электрическое поле внутри частицы смеси можно рассматривать как однородное. Таким образом, эти формулы не могут описать размерный эффект. Было предпринято много попыток улучшить эти формулы.

Приложения

Существует множество различных приближений эффективной среды, каждое из которых является более или менее точным в определенных условиях. Тем не менее, все они предполагают, что макроскопическая система является однородной, и, что типично для всех теорий среднего поля, они не могут предсказать свойства многофазной среды вблизи порога перколяции из-за отсутствия дальнодействующих корреляций или критических флуктуаций в теории. .

Рассматриваемыми свойствами обычно являются проводимость или диэлектрическая проницаемость среды. Эти параметры взаимозаменяемы в формулах целого ряда моделей из-за широкой применимости уравнения Лапласа. Проблемы, выходящие за рамки этого класса, в основном относятся к области упругости и гидродинамики из-за тензорного характера более высокого порядка эффективных констант среды. ${\ displaystyle \ sigma}$ ${\ displaystyle \ epsilon}$

EMA могут быть дискретными моделями, например, применимыми к цепям резисторов, или теориями континуума, применимыми к упругости или вязкости. Однако большинство современных теорий затрудняют описание перколяционных систем. Действительно, среди множества приближений эффективной среды только симметричная теория Бруггемана способна предсказать порог. Эта характерная черта последней теории ставит ее в ту же категорию, что и другие теории критических явлений среднего поля .

Модель Брюггемана

Д.А.Г. Брюггеман предложил формулу следующего вида:

${\ displaystyle \ epsilon _ {eff} = {\ frac {H_ {b} + {\ sqrt {H_ {b} ^ {2} +8 \ epsilon _ {m} \ epsilon _ {d}}}} {4 }},}$ ${\ displaystyle H_ {b} = (2-3c_ {m}) \ epsilon _ {d} - (1-3c_ {m}) \ epsilon _ {m}.}$ (3)

Здесь положительный знак перед квадратным корнем в некоторых случаях должен быть заменен на отрицательный, чтобы получить правильную мнимую часть эффективной комплексной диэлектрической проницаемости, которая связана с затуханием электромагнитной волны. Эта формула основана на равенстве

${\ displaystyle \ Delta \ Phi = \ int \ int \ epsilon _ {r} (\ mathbf {r}) E_ {n} (\ mathbf {r}) ds- \ epsilon _ {eff} \ int \ int E_ { 0}, ds = 0,}$ (4)

где - скачок потока электрического смещения по всей поверхности интегрирования, - составляющая микроскопического электрического поля, нормальная к поверхности интегрирования, - локальная относительная комплексная диэлектрическая проницаемость, которая принимает значение внутри выбранной металлической частицы, значение внутри выбранной диэлектрической частицы а значение вне выбранной частицы является нормальной составляющей макроскопического электрического поля. Формула (4) вытекает из равенства Максвелла . Таким образом, в подходе Брюггемана рассматривается только одна подобранная частица. Взаимодействие со всеми остальными частицами учитывается только в приближении среднего поля, описываемом формулой . Формула (3) дает разумную резонансную кривую для плазмонных возбуждений в металлических наночастицах, если их размер составляет 10 нм или меньше. Но он не может описать размерную зависимость резонансной частоты плазмонных возбуждений, наблюдаемых в эксперименте. ${\ Displaystyle \ Delta \ Phi}$${\ Displaystyle E_ {п} (\ mathbf {r})}$${\ displaystyle \ epsilon _ {r} (\ mathbf {r})}$${\ displaystyle \ epsilon _ {m}}$${\ displaystyle \ epsilon _ {d}}$${\ displaystyle \ epsilon _ {eff}}$${\ displaystyle E_ {0}}$ ${\ Displaystyle \ mathrm {div} (\ epsilon _ {r} \ mathbf {E}) = 0}$${\ displaystyle \ epsilon _ {eff}}$

Формулы

Не умаляя общности, мы рассмотрим исследование эффективной проводимости (которая может быть как постоянной, так и переменного тока) для системы, состоящей из сферических многокомпонентных включений с различной произвольной проводимостью. Тогда формула Брюггемана принимает вид:

Круглые и сферические включения

${\ displaystyle \ sum _ {i} \, \ delta _ {i} \, {\ frac {\ sigma _ {i} - \ sigma _ {e}} {\ sigma _ {i} + (n-1) \ sigma _ {e}}} \, = \, 0 \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, (1)}$

В системе евклидова пространственного измерения, которая имеет произвольное количество компонентов, сумма производится по всем составляющим. и - соответственно доля и проводимость каждого компонента, а - эффективная проводимость среды. (Сумма по буквам равна единице.) ${\ displaystyle n}$${\ displaystyle \ delta _ {я}}$${\ displaystyle \ sigma _ {я}}$${\ displaystyle \ sigma _ {e}}$${\ displaystyle \ delta _ {я}}$

Эллиптические и эллипсоидальные включения

${\ displaystyle {\ frac {1} {n}} \, \ delta \ alpha + {\ frac {(1- \ delta) (\ sigma _ {m} - \ sigma _ {e})} {\ sigma _ {m} + (n-1) \ sigma _ {e}}} \, = \, 0 \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \ , \, \, \, \, \, \, (2)}$

Это обобщение уравнения. (1) к двухфазной системе с эллипсоидальными включениями проводимости в матрицу проводимости . Доля включений равна, а система размерна. Для случайно ориентированных включений ${\ displaystyle \ sigma}$${\ displaystyle \ sigma _ {m}}$${\ displaystyle \ delta}$${\ displaystyle n}$

${\ displaystyle \ alpha \, = \, {\ frac {1} {n}} \ sum _ {j = 1} ^ {n} \, {\ frac {\ sigma - \ sigma _ {e}} {\ sigma _ {e} + L_ {j} (\ sigma - \ sigma _ {e})}} \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \ , \, \, \, \, \, \, (3)}$

где 's обозначают соответствующий дублет / триплет факторов деполяризации, которые регулируются соотношениями между осями эллипса / эллипсоида. Например: в случае окружности { , } , и в случае сферы { , , }. (Сумма по буквам равна единице.) ${\ displaystyle L_ {j}}$${\ displaystyle L_ {1} = 1/2}$${\ displaystyle L_ {2} = 1/2}$${\ displaystyle L_ {1} = 1/3}$${\ displaystyle L_ {2} = 1/3}$${\ displaystyle L_ {3} = 1/3}$${\ displaystyle L_ {j}}$

Наиболее общий случай, к которому был применен подход Бруггемана, связан с бианизотропными эллипсоидальными включениями.

Вывод

На рисунке показана двухкомпонентная среда. Рассмотрим заштрихованный объем проводимости , возьмем его за объемную сферу и предположим, что он заключен в однородную среду с эффективной проводимостью . Если электрическое поле далеко от включения, то элементарные соображения приводят к дипольному моменту, связанному с объемом ${\ displaystyle \ sigma _ {1}}$${\ displaystyle V}$${\ displaystyle \ sigma _ {e}}$${\ displaystyle {\ overline {E_ {0}}}}$

${\ displaystyle {\ overline {p}} \, \ propto \, V \, {\ frac {\ sigma _ {1} - \ sigma _ {e}} {\ sigma _ {1} +2 \ sigma _ { e}}} \, {\ overline {E_ {0}}} \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, (4) \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \ ,. }$

Эта поляризация вызывает отклонение от . Если среднее отклонение должно исчезнуть, полная поляризация, суммированная по двум типам включений, должна исчезнуть. Таким образом ${\ displaystyle {\ overline {E_ {0}}}}$

${\ displaystyle \ delta _ {1} {\ frac {\ sigma _ {1} - \ sigma _ {e}} {\ sigma _ {1} +2 \ sigma _ {e}}} \, + \, \ delta _ {2} {\ frac {\ sigma _ {2} - \ sigma _ {e}} {\ sigma _ {2} +2 \ sigma _ {e}}} \, = \, 0 \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, (5)}$

где и - соответственно объемная доля материала 1 и 2. Ее можно легко расширить до размерной системы, которая имеет произвольное количество компонентов. Все случаи могут быть объединены, чтобы получить уравнение. (1). ${\ displaystyle \ delta _ {1}}$${\ displaystyle \ delta _ {2}}$${\ displaystyle n}$

Уравнение (1) также можно получить, требуя, чтобы отклонение тока исчезло. Это было получено здесь из предположения, что включения являются сферическими, и это может быть изменено для форм с другими факторами деполяризации; приводя к формуле. (2).

Также доступен более общий вывод, применимый к бианизотропным материалам.

Моделирование перколяционных систем

Главное приближение состоит в том, что все домены находятся в эквивалентном среднем поле. К сожалению, это не тот случай, когда близко к порогу перколяции, когда система управляется наибольшим скоплением проводников, которое является фракталом, и дальнодействующими корреляциями, которые полностью отсутствуют в простой формуле Бруггемана. Пороговые значения, как правило, неверно предсказываются. Это 33% в EMA в трех измерениях, что далеко от 16%, ожидаемых по теории перколяции и наблюдаемых в экспериментах. Однако в двух измерениях EMA дает порог в 50% и, как было доказано, относительно хорошо моделирует просачивание.

Уравнение Максвелла Гарнетта

В приближении Максвелла-Гарнетта эффективная среда состоит из матричной среды с и включениями с . Максвелл Гарнетт был сыном физика Уильяма Гарнетта и был назван в честь друга Гарнетта, Джеймса Клерка Максвелла . Он предложил свою формулу для объяснения цветных картинок, которые наблюдаются в стеклах, допированных металлическими наночастицами. Его формула имеет вид ${\ displaystyle \ varepsilon _ {m}}$${\ Displaystyle \ varepsilon _ {я}}$

${\ displaystyle \ epsilon _ {eff} = \ epsilon _ {d} \ left [1 + 3c_ {m} {\ frac {\ epsilon _ {m} - \ epsilon _ {d}} {\ epsilon _ {m} +2 \ epsilon _ {d} -c_ {m} (\ epsilon _ {m} - \ epsilon _ {d})}} \ right],}$ (1)

где - эффективная относительная комплексная диэлектрическая проницаемость смеси, - относительная комплексная диэлектрическая проницаемость фоновой среды, содержащей мелкие сферические включения относительной диэлектрической проницаемости с объемной долей . Эта формула основана на равенстве ${\ displaystyle \ epsilon _ {eff}}$${\ displaystyle \ epsilon _ {d}}$${\ displaystyle \ epsilon _ {m}}$${\ displaystyle c_ {m} << 1}$

${\ displaystyle \ epsilon _ {eff} = \ epsilon _ {d} + c_ {m} {\ frac {p_ {m}} {\ epsilon _ {0} E}},}$ (2)

где это абсолютная диэлектрическая проницаемость свободного пространства , и это электрический дипольный момент одного включения индуцированного внешним электрическим полем E . Однако это равенство хорошо только для однородной среды и . Кроме того, формула (1) игнорирует взаимодействие между одиночными включениями. Из-за этих обстоятельств формула (1) дает слишком узкую и слишком высокую резонансную кривую для плазмонных возбуждений в металлических наночастицах смеси. ${\ displaystyle \ epsilon _ {0}}$${\ displaystyle p_ {m}}$ ${\ displaystyle \ epsilon _ {d} = 1}$

Формула

Уравнение Максвелла Гарнетта гласит:

${\ displaystyle \ left ({\ frac {\ varepsilon _ {\ mathrm {eff}} - \ varepsilon _ {m}} {\ varepsilon _ {\ mathrm {eff}} +2 \ varepsilon _ {m}}} \ справа) = \ delta _ {i} \ left ({\ frac {\ varepsilon _ {i} - \ varepsilon _ {m}} {\ varepsilon _ {i} +2 \ varepsilon _ {m}}} \ right) , \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, (6)}$

где - эффективная диэлектрическая проницаемость среды, включений и матрицы; - объемная доля включений. ${\ displaystyle \ varepsilon _ {\ mathrm {eff}}}$${\ Displaystyle \ varepsilon _ {я}}$${\ displaystyle \ varepsilon _ {m}}$${\ displaystyle \ delta _ {я}}$

Уравнение Максвелла Гарнетта решается с помощью:

${\ displaystyle \ varepsilon _ {\ mathrm {eff}} \, = \, \ varepsilon _ {m} \, {\ frac {2 \ delta _ {i} (\ varepsilon _ {i} - \ varepsilon _ {m }) + \ varepsilon _ {i} +2 \ varepsilon _ {m}} {2 \ varepsilon _ {m} + \ varepsilon _ {i} - \ delta _ {i} (\ varepsilon _ {i} - \ varepsilon _ {m})}}, \, \, \, \, \, \, \, \, (7)}$

до тех пор, пока знаменатель не исчезнет. Простой калькулятор MATLAB, использующий эту формулу, выглядит следующим образом.

% This simple MATLAB calculator computes the effective dielectric
% constant of a mixture of an inclusion material in a base medium
% according to the Maxwell Garnett theory as introduced in:
% https://en.wikipedia.org/wiki/Effective_Medium_Approximations
% INPUTS:
%     eps_base: dielectric constant of base material;
%     eps_incl: dielectric constant of inclusion material;
%     vol_incl: volume portion of inclusion material;
% OUTPUT:
%     eps_mean: effective dielectric constant of the mixture.

function [eps_mean] = MaxwellGarnettFormula(eps_base, eps_incl, vol_incl)
 
    small_number_cutoff = 1e - 6;
 
    if vol_incl < 0 || vol_incl > 1
        disp(['WARNING: volume portion of inclusion material is out of range!']);
    end
    factor_up = 2 * (1 - vol_incl) * eps_base + (1 + 2 * vol_incl) * eps_incl;
    factor_down = (2 + vol_incl) * eps_base + (1 - vol_incl) * eps_incl;
    if abs(factor_down) < small_number_cutoff
        disp(['WARNING: the effective medium is singular!']);
        eps_mean = 0;
    else
        eps_mean = eps_base * factor_up / factor_down;
    end

Вывод

Для вывода уравнения Максвелла-Гарнетта мы начнем с массива поляризуемых частиц. Используя концепцию локального поля Лоренца, мы получаем соотношение Клаузиуса-Моссотти :

${\ displaystyle {\ frac {\ varepsilon -1} {\ varepsilon +2}} = {\ frac {4 \ pi} {3}} \ sum _ {j} N_ {j} \ alpha _ {j}}$

Где количество частиц в единице объема. Используя элементарную электростатику, мы получаем для сферического включения с диэлектрической проницаемостью и радиусом поляризуемость : ${\ displaystyle N_ {j}}$${\ Displaystyle \ varepsilon _ {я}}$${\ displaystyle a}$${\ displaystyle \ alpha}$

${\ displaystyle \ alpha = \ left ({\ frac {\ varepsilon _ {i} -1} {\ varepsilon _ {i} +2}} \ right) a ^ {3}}$

Если мы объединим с уравнением Клаузиуса Мосотти, мы получим: ${\ displaystyle \ alpha}$

${\ displaystyle \ left ({\ frac {\ varepsilon _ {\ mathrm {eff}} -1} {\ varepsilon _ {\ mathrm {eff}} +2}} \ right) = \ delta _ {i} \ left ({\ frac {\ varepsilon _ {i} -1} {\ varepsilon _ {i} +2}} \ right)}$

Где - эффективная диэлектрическая проницаемость среды включений; - объемная доля включений. Поскольку модель Максвелла Гарнетта представляет собой композицию матричной среды с включениями, мы усиливаем уравнение: ${\ displaystyle \ varepsilon _ {\ mathrm {eff}}}$${\ Displaystyle \ varepsilon _ {я}}$${\ displaystyle \ delta _ {я}}$

${\ displaystyle \ left ({\ frac {\ varepsilon _ {\ mathrm {eff}} - \ varepsilon _ {m}} {\ varepsilon _ {\ mathrm {eff}} +2 \ varepsilon _ {m}}} \ справа) = \ delta _ {i} \ left ({\ frac {\ varepsilon _ {i} - \ varepsilon _ {m}} {\ varepsilon _ {i} +2 \ varepsilon _ {m}}} \ right) \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, (8)}$

Период действия

В общих чертах ожидается, что EMA Максвелла-Гарнетта будет действительным при малых объемных долях , поскольку предполагается, что домены пространственно разделены, а электростатическое взаимодействие между выбранными включениями и всеми другими соседними включениями не учитывается. Формула Максвелла Гарнетта, в отличие от формулы Бруггемана, перестает быть правильной, когда включения становятся резонансными. В случае плазмонного резонанса формула Максвелла Гарнетта верна только при объемной доле включений . Применимость приближения эффективной среды для диэлектрических мультислоев и металл-диэлектрических мультислоев была изучена, показав, что в некоторых случаях приближение эффективной среды не выполняется, и при применении теории следует проявлять осторожность. ${\ displaystyle \ delta _ {я}}$${\ displaystyle \ delta _ {я} <10 ^ {- 5}}$

Формула, описывающая размерный эффект

Предложена новая формула, описывающая размерный эффект. Эта формула имеет вид

${\ displaystyle \ epsilon _ {eff} = {\ frac {H _ {\ epsilon} + i {\ sqrt {-H _ {\ epsilon} ^ {2} -8 \ epsilon _ {m} \ epsilon _ {d} J (k_ {m} a)}}} {4}},}$

${\ displaystyle H _ {\ epsilon} = (2-3c_ {m}) \ epsilon _ {d} - (1-3c_ {m}) \ epsilon _ {m} J (k_ {m} a),}$ (5)

${\ Displaystyle J (x) = 2 {\ frac {1-x \ mathrm {cot} (x)} {x ^ {2} + x \ mathrm {cot} (x) -1}}}$,

где a - радиус наночастицы, - волновое число. Здесь предполагается, что зависимость электромагнитного поля от времени задается коэффициентом. В этой статье использовался подход Бруггемана, но электромагнитное поле для режима электродипольных колебаний внутри выбранной частицы было вычислено без применения квазистатического приближения . Таким образом, функция возникает из-за неоднородности поля внутри выбранной частицы. В квазистатической области , т.е. ≤ 10 нм для Ag, эта функция становится постоянной, и формула (5) становится идентичной формуле Бруггемана. ${\ displaystyle k_ {m} = {\ sqrt {\ epsilon _ {m} \ mu _ {m}}} \ omega / c}$${\ displaystyle \ mathrm {exp} (-i \ omega t).}$${\ Displaystyle J (к_ {м} а)}$${\ displaystyle (k_ {m} a << 1}$${\ displaystyle a}$${\ displaystyle)}$${\ Displaystyle J (к_ {м} а) = 1}$

Формула эффективной проницаемости

Формула эффективной проницаемости смесей имеет вид

${\ displaystyle \ mu _ {eff} = {\ frac {H _ {\ mu} + i {\ sqrt {-H _ {\ mu} ^ {2} -8 \ mu _ {m} \ mu _ {d} J (k_ {m} a)}}} {4}},}$ (6)

${\ displaystyle H _ {\ mu} = (2-3c_ {m}) \ mu _ {d} - (1-3c_ {m}) \ mu _ {m} J (k_ {m} a).}$

Здесь - эффективная относительная комплексная проницаемость смеси, - относительная комплексная проницаемость фоновой среды, содержащей мелкие сферические включения относительной проницаемости с объемной долей . Эта формула получена в дипольном приближении. Магнитная октупольная мода и все другие моды магнитных колебаний нечетных порядков здесь не учитывались. Когда и эта формула имеет простой вид ${\ displaystyle \ mu _ {eff}}$${\ displaystyle \ mu _ {d}}$${\ displaystyle \ mu _ {m}}$${\ displaystyle c_ {m} << 1}$${\ displaystyle \ mu _ {m} = \ mu _ {d}}$${\ displaystyle k_ {m} a << 1}$

${\ displaystyle \ mu _ {eff} = \ mu _ {d} \ left (1 + {\ frac {c_ {m}} {10}} {\ frac {\ omega ^ {2}} {c ^ {2 }}} a ^ {2} \ epsilon _ {m} \ right).}$ (7)

Теория эффективной среды для резисторных сетей

Для сети, состоящей из высокой плотности случайных резисторов, точное решение для каждого отдельного элемента может быть непрактичным или невозможным. В таком случае случайная сеть резисторов может рассматриваться как двумерный граф, а эффективное сопротивление может быть смоделировано в терминах мер графа и геометрических свойств сетей. Предполагая, что длина кромки << расстояние между электродами и кромки распределены равномерно, можно считать, что потенциал равномерно падает от одного электрода к другому. Сопротивление листов такой случайной сети ( ) может быть записано в терминах плотности кромок (проводов) ( ), удельного сопротивления ( ), ширины ( ) и толщины ( ) кромок (проводов) как: ${\ displaystyle R_ {sn}}$${\ displaystyle N_ {E}}$${\ displaystyle \ rho}$${\ displaystyle w}$${\ displaystyle t}$

${\ displaystyle R_ {sn} \, = \, {\ frac {\ pi} {2}} {\ frac {\ rho} {w \, t \, {\ sqrt {N_ {E}}}}} \ , \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, (9) }$

Смотрите также

• Материальное уравнение
• Порог перколяции

использованная литература

дальнейшее чтение

• Лахтакия (Ред.), А. (1996). Избранные статьи о линейных оптических композитных материалах [Milestone Vol. 120] . Беллингем, Вашингтон, США: SPIE Press. ISBN 978-0-8194-2152-4.CS1 maint: дополнительный текст: список авторов ( ссылка )
• Так, Чой (1999). Теория эффективной среды (1-е изд.). Оксфорд: Издательство Оксфордского университета. ISBN 978-0-19-851892-1.
• Лахтакия (Ред.), А. (2000). Электромагнитные поля в нетрадиционных материалах и конструкциях . Нью-Йорк: Wiley-Interscience. ISBN 978-0-471-36356-9.CS1 maint: дополнительный текст: список авторов ( ссылка )
• Вайгльхофер (ред.) ; Лахтакия (Ред.), А. (2003). Введение в сложные среды для оптики и электромагнетизма . Беллингем, Вашингтон, США: SPIE Press. ISBN 978-0-8194-4947-4.CS1 maint: дополнительный текст: список авторов ( ссылка )
• Mackay, TG ; Лахтакия, А. (2010). Электромагнитная анизотропия и бианизотропия: полевое руководство (1-е изд.). Сингапур: World Scientific. ISBN 978-981-4289-61-0.