Кривая дракона - Dragon curve

Кривой дракона является любым членом семейства самоподобных фрактальных кривых , которые могут быть аппроксимированы с помощью рекурсивных методов , таких как системы Lindenmayer . Кривая дракона, вероятно, чаще всего считается формой, которая создается путем многократного складывания полосы бумаги пополам, хотя есть и другие кривые, которые называются кривыми дракона, которые создаются по-другому.

Высокий дракон

Дракон Heighway (также известный как дракон Хартер-Heighway или дракон Jurassic Park ) впервые была исследовано НАСА физиков Джона Heighway, Брюс Бэнкс и Уильям HARTER. Он был описан Мартином Гарднером в его колонке « Математические игры» в Scientific American в 1967 году. Многие из его свойств были впервые опубликованы Чендлером Дэвисом и Дональдом Кнутом . Он появился на титульных страницах раздела романа Майкла Крайтона « Парк юрского периода» .

Строительство

Дракон на шоссе может быть построен из сегмента базовой линии , многократно заменяя каждый сегмент двумя сегментами с прямым углом и с поворотом на 45 ° поочередно вправо и влево:

Дракон Хайуэй также является предельным набором следующей системы повторяющихся функций на комплексной плоскости:

${\displaystyle f_{1}(z)={\frac {(1+i)z}{2}}}$

${\displaystyle f_{2}(z)=1-{\frac {(1-i)z}{2}}}$

с начальным набором точек . ${\displaystyle S_{0}=\{0,1\}}$

Вместо этого используются пары действительных чисел, это то же самое, что и две функции, состоящие из

${\displaystyle f_{1}(x,y)={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{pmatrix}\cos 45^{\circ }&-\sin 45^{\circ }\\\sin 45^{\circ }&\cos 45^{\circ }\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}}$

${\displaystyle f_{2}(x,y)={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{pmatrix}\cos 135^{\circ }&-\sin 135^{\circ }\\\sin 135^{\circ }&\cos 135^{\circ }\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}}$

[Un] сворачивание дракона

Кривая дракона Хайуэй может быть построена, сложив полоску бумаги , как это было первоначально обнаружено. Возьмите полоску бумаги и сложите ее пополам вправо. Снова сложите пополам вправо. Если бы полоса была открыта сейчас, разгибая каждую складку, чтобы превратиться в поворот на 90 градусов, последовательность поворота была бы RRL, то есть второй итерацией дракона Хайуэй. Сложите полосу пополам снова вправо, и последовательность поворотов развернутой полосы теперь будет RRLRRLL - третья итерация дракона Heighway. Продолжая складывать полоску пополам вправо, чтобы создать дальнейшие итерации дракона Heighway (на практике полоса становится слишком толстой, чтобы резко сложить ее после четырех или пяти итераций).

Схемы сгиба этой последовательности бумажных полос, как последовательности правого (R) и левого (L) сгиба, следующие:

• 1-я итерация: R
• 2-я итерация: R R L
• 3-я итерация: R R L R R L L
• 4 - я итерация: R R L R R L L R R R L L R L L .

Каждую итерацию можно найти, скопировав предыдущую итерацию, затем R, а затем вторую копию предыдущей итерации в обратном порядке с заменой букв L и R.

Характеристики

• Многие сходства можно увидеть в кривой дракона Хайуэй. Наиболее очевидным является повторение одного и того же рисунка с наклоном на 45 ° и с коэффициентом уменьшения . Исходя из этого самоподобия, многие его длины являются простыми рациональными числами.${\displaystyle \textstyle {\sqrt {2}}}$

• Кривая дракона может замостить плоскость. Один возможный тайлинг заменяет каждое ребро квадратного тайла кривой дракона, используя рекурсивное определение дракона, начиная с отрезка линии. Начальное направление расширения каждого сегмента может быть определено с помощью раскраски квадратной плитки в шахматном порядке, расширения вертикальных сегментов на черные плитки и из белых плиток и расширения горизонтальных сегментов на белые плитки и из черных плиток.
• Как кривая , заполняющая пространство без самопересечения, кривая дракона имеет фрактальную размерность ровно 2. Для кривой дракона с начальной длиной сегмента 1 ее площадь равна 1/2, как видно из мозаики плоскости.
• Граница множества, охватываемая кривой дракона, имеет бесконечную длину с фрактальной размерностью.
  $${\displaystyle 2\log _{2}\lambda \approx 1.523627086202492,}$$

  
  куда
  $${\displaystyle \lambda ={\frac {1+(28-3{\sqrt {87}})^{1/3}+(28+3{\sqrt {87}})^{1/3}}{3}}\approx 1.69562076956}$$

  
  является действительным решением уравнения ${\displaystyle \lambda ^{3}-\lambda ^{2}-2=0.}$

Twindragon

Twindragon (также известный как дракона Дэвис-Кнут ) может быть построена путем размещения двух кривых дракона Heighway спина к спине. Это также предельный набор следующей системы повторяющихся функций:

${\displaystyle f_{1}(z)={\frac {(1+i)z}{2}}}$

${\displaystyle f_{2}(z)=1-{\frac {(1+i)z}{2}}}$

где исходная форма определяется следующим набором . ${\displaystyle S_{0}=\{0,1,1-i\}}$

Его также можно записать как систему Линденмайера - для этого нужно только добавить еще один раздел в исходную строку:

• угол 90 °
• начальная строка FX + FX +
• правила перезаписи строк
  • X ↦ X + YF
  • Y ↦ FX - Y .

Terdragon

Terdragon можно записать в виде системы Lindenmayer :

• угол 120 °
• начальная строка F
• правила перезаписи строк
  • F ↦ F + F-F .

Это предельный набор следующей системы повторяющихся функций:

${\displaystyle f_{1}(z)=\lambda z}$

${\displaystyle f_{2}(z)={\frac {i}{\sqrt {3}}}z+\lambda }$

${\displaystyle f_{3}(z)=\lambda z+\lambda ^{*}}$

${\displaystyle {\mbox{where }}\lambda ={\frac {1}{2}}-{\frac {i}{2{\sqrt {3}}}}{\text{ and }}\lambda ^{*}={\frac {1}{2}}+{\frac {i}{2{\sqrt {3}}}}.}$

Леви дракон

Кривая Леви иногда известна как дракон Леви .

Кривая Леви C.

Варианты

Можно изменить угол поворота с 90 ° на другие углы. Изменение на 120 ° дает структуру треугольников, а 60 ° дает следующую кривую:

Дискретную кривую дракона можно преобразовать в полимино дракона, как показано. Подобно дискретным кривым дракона, полимино дракона приближается к фрактальной кривой дракона как предел.

Вхождения кривой дракона в наборы решений

После получения набора решений линейного дифференциального уравнения любая линейная комбинация решений будет, в силу принципа суперпозиции , также подчиняться исходному уравнению. Другими словами, новые решения получаются путем применения функции к множеству существующих решений. Это похоже на то, как система повторяющихся функций создает новые точки в наборе, хотя не все IFS являются линейными функциями. В концептуально аналогичном ключе набор многочленов Литтлвуда может быть получен с помощью таких повторных применений набора функций.

Многочлен Литтлвуда - это многочлен: где все . ${\displaystyle p(x)=\sum _{i=0}^{n}a_{i}x^{i}\,}$${\displaystyle a_{i}=\pm 1}$

Для некоторых мы определяем следующие функции: ${\displaystyle |w|<1}$

${\displaystyle f_{+}(z)=1+wz}$

${\displaystyle f_{-}(z)=1-wz}$

Начиная с z = 0, мы можем сгенерировать все полиномы Литтлвуда степени d, используя эти функции итеративно d + 1 раз. Например:${\displaystyle f_{+}(f_{-}(f_{-}(0)))=1+(1-w)w=1+1w-1w^{2}}$

Можно видеть, что для вышеупомянутой пары функций эквивалентна формулировке IFS дракона Heighway. То есть дракон Heighway, повторенный до определенной итерации, описывает набор всех многочленов Литтлвуда до определенной степени, вычисленных в точке . Действительно, при построении достаточно большого числа корней многочленов Литтлвуда структуры, подобные кривой дракона, появляются в точках, близких к этим координатам. ${\displaystyle w=(1+i)/2}$${\displaystyle w=(1+i)/2}$

Смотрите также

• Список фракталов по размерности Хаусдорфа
• Комплексно-базовая система

использованная литература

внешние ссылки

• Вайсштейн, Эрик В. , «Кривая дракона» , MathWorld
• Кнут на кривой дракона