Теорема Донскера - Donsker's theorem

Принцип инвариантности Донскера для простого случайного блуждания на .${\ Displaystyle \ mathbb {Z}}$

В теории вероятностей , теорема Донскера в (также известной как принцип инвариантности Донскера в , или теореме функциональной центральной предельной ), названная в честь Монро Д. Донскера , является функциональным продолжением центральной предельной теоремы .

Позвольте быть последовательность независимых и одинаково распределенных (iid) случайных величин со средним 0 и дисперсией 1. Пусть . Случайный процесс известен как случайное блуждание . Определите случайное блуждание с диффузионным изменением масштаба (процесс частичной суммы) следующим образом: ${\ Displaystyle X_ {1}, X_ {2}, X_ {3}, \ ldots}$${\ Displaystyle S_ {п}: = \ сумма _ {я = 1} ^ {п} X_ {я}}$${\ Displaystyle S: = (S_ {п}) _ {п \ in \ mathbb {N}}}$

${\ displaystyle W ^ {(n)} (t): = {\ frac {S _ {\ lfloor nt \ rfloor}} {\ sqrt {n}}}, \ qquad t \ in [0,1].}$

Центральная предельная теорема утверждает , что сходится по распределению к стандартной гауссовской случайной величине , как . Принцип инвариантности Донскера распространяет эту сходимость на всю функцию . Точнее, в своей современной форме принцип инвариантности Донскера гласит, что: как случайные величины, принимающие значения в пространстве Скорохода , случайная функция сходится по распределению к стандартному броуновскому движению как${\ Displaystyle W ^ {(п)} (1)}$ ${\ Displaystyle W (1)}$${\ Displaystyle п \ к \ infty}$${\ displaystyle W ^ {(n)}: = (W ^ {(n)} (t)) _ {t \ in [0,1]}}$ ${\ Displaystyle {\ mathcal {D}} [0,1]}$${\ Displaystyle W ^ {(п)}}$ ${\ Displaystyle W: = (W (t)) _ {t \ in [0,1]}}$${\ displaystyle n \ to \ infty.}$

История

Пусть F _n будет эмпирической функцией распределения последовательности случайных величин iid с функцией распределения F. Определите центрированную и масштабированную версию F _{n следующим} образом: ${\ Displaystyle X_ {1}, X_ {2}, X_ {3}, \ ldots}$

${\ displaystyle G_ {n} (x) = {\ sqrt {n}} (F_ {n} (x) -F (x))}$

индексируется Купить  ∈  R . Согласно классической центральной предельной теореме при фиксированном x случайная величина G _n ( x ) сходится по распределению к гауссовской (нормальной) случайной величине G ( x ) с нулевым средним и дисперсией F ( x ) (1 -  F ( x ) ) с увеличением размера выборки n .

Теорема (Донскер, Скороход, Колмогорова) Последовательность G _п ( х ), как случайные элементы пространства Скорохода , сходится по распределению к гауссовскому процессу G с нулевым средним и ковариацией заданных ${\ Displaystyle {\ mathcal {D}} (- \ infty, \ infty)}$

${\ Displaystyle \ OperatorName {cov} [G (s), G (t)] = E [G (s) G (t)] = \ min \ {F (s), F (t) \} - F ( s)}$${\ displaystyle {F} (t).}$

Процесс G ( x ) можно записать как B ( F ( x )), где B - стандартный броуновский мост на единичном интервале.

Колмогоров (1933) показали , что , когда Р является непрерывной , супремумом и верхняя грань абсолютного значения, сходится по распределению к законам тех же функционалов от броуновского моста B ( т ), см тест Колмогорова-Смирнова . В 1949 г. Дуб спросил, сохраняется ли сходимость по распределению для более общих функционалов, таким образом сформулировав проблему слабой сходимости случайных функций в подходящем функциональном пространстве . ${\ Displaystyle \ scriptstyle \ sup _ {t} G_ {n} (t)}$${\ Displaystyle \ scriptstyle \ sup _ {t} | G_ {n} (t) |}$

В 1952 г. Донскер сформулировал и доказал (не совсем правильно) общее расширение эвристического подхода Дуба – Колмогорова. В исходной статье Донскер доказал, что сходимость по закону G _n к броуновскому мосту имеет место для равномерных [0,1] распределений относительно равномерной сходимости по t на интервале [0,1].

Однако формулировка Донскера была не совсем правильной из-за проблемы измеримости функционалов от разрывных процессов. В 1956 году Скороход и Колмогоров определили сепарабельную метрику d , названную метрикой Скорохода , на пространстве функций càdlàg на [0,1], такую, что сходимость d к непрерывной функции эквивалентна сходимости для sup нормы, и показали, что G _n по закону сходится к броуновскому мосту. ${\ Displaystyle {\ mathcal {D}} [0,1]}$

Позже Дадли переформулировал результат Донскера, чтобы избежать проблемы измеримости и необходимости метрики Скорохода. Можно доказать, что существуют равномерные в [0,1] X _i , iid и последовательность непрерывных по выборке броуновских мостов B _n такие, что

${\ displaystyle \ | G_ {n} -B_ {n} \ | _ {\ infty}}$

измеримо и сходится по вероятности к 0. Улучшенная версия этого результата, дающая более подробную информацию о скорости сходимости, - это приближение Комлоша – Майора – Туснади .

Смотрите также

• Теорема Гливенко – Кантелли.
• Тест Колмогорова – Смирнова

использованная литература