Оператор дельты - Delta operator

В математике , А оператор дельта - сдвиг-эквивариантная линейный оператор на векторном пространстве из многочленов в переменной над полем , которое уменьшает степень на единицу. ${\ Displaystyle Q \ двоеточие \ mathbb {K} [x] \ longrightarrow \ mathbb {K} [x]}$${\ displaystyle x}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {K}}$

Сказать, что это эквивариантно сдвигу, означает, что если , то ${\ displaystyle Q}$${\ Displaystyle г (х) = е (х + а)}$

${\ Displaystyle {(Qg) (х) = (Qf) (х + а)}. \,}$

Другими словами, если это «сдвиг» , то это также сдвиг , и он имеет тот же «вектор сдвига» . ${\ displaystyle f}$${\ displaystyle g}$${\ displaystyle Qf}$${\ displaystyle Qg}$${\ displaystyle a}$

Сказать, что оператор уменьшает степень на единицу, означает, что if является многочленом степени , то является либо многочленом степени , либо, в случае , 0. ${\ displaystyle f}$${\ displaystyle n}$${\ displaystyle Qf}$${\ displaystyle n-1}$${\ displaystyle n = 0}$${\ displaystyle Qf}$

Иногда дельта-оператор определяется как линейное преобразование, эквивариантное сдвигу, на многочленах от, которое отображается в ненулевую константу. Эта последняя характеристика, кажущаяся более слабой, чем определение, данное выше, может быть продемонстрирована как эквивалентная указанному определению, когда имеет нулевую характеристику , поскольку эквивариантность сдвига является довольно сильным условием. ${\ displaystyle x}$${\ displaystyle x}$${\ Displaystyle \ mathbb {K}}$

Примеры

• Оператор прямой разницы

${\ Displaystyle (\ Delta f) (х) = е (х + 1) -f (х) \,}$

является дельта-оператором.

• Дифференцирование по x , записанное как D , также является дельта-оператором.
• Любой оператор формы

${\ Displaystyle \ сумма _ {к = 1} ^ {\ infty} c_ {k} D ^ {k}}$

(где D ⁿ (ƒ) = ƒ ^{( n )} - n- ^я производная ) с дельта-оператором. Можно показать, что все дельта-операторы могут быть записаны в этой форме. Например, приведенный выше оператор разности может быть расширен как ${\ displaystyle c_ {1} \ neq 0}$

${\ displaystyle \ Delta = e ^ {D} -1 = \ sum _ {k = 1} ^ {\ infty} {\ frac {D ^ {k}} {k!}}.}$

• Обобщенная производная исчисления шкалы времени, которая объединяет оператор прямой разницы с производной стандартного исчисления, является дельта-оператором.
• В информатике и кибернетике термин «дельта-оператор дискретного времени» (δ) обычно используется для обозначения разностного оператора.

${\ Displaystyle {(\ дельта е) (х) = {{е (х + \ Delta t) -f (x)} \ над {\ Delta t}}},}$

приближение Эйлера обычной производной с дискретным временем выборки . Дельта-формулировка дает значительное количество численных преимуществ по сравнению с оператором сдвига при быстрой выборке.${\ displaystyle \ Delta t}$

Основные полиномы

Каждый дельта-оператор имеет уникальную последовательность «основных полиномов», полиномиальную последовательность, определяемую тремя условиями: ${\ displaystyle Q}$

• ${\ Displaystyle p_ {0} (х) = 1;}$
• ${\ displaystyle p_ {n} (0) = 0;}$
• ${\ displaystyle (Qp_ {n}) (x) = np_ {n-1} (x) {\ text {для всех}} n \ in \ mathbb {N}.}$

Такая последовательность основных полиномов всегда имеет биномиальный тип , и можно показать, что других последовательностей биномиального типа не существует. Если первые два вышеуказанных условия отброшены, то третье условие говорит, что эта полиномиальная последовательность является последовательностью Шеффера - более общее понятие.

Смотрите также

• Производная Пинчерле
• Оператор сдвига
• Темное исчисление

использованная литература

• Никольский, Николай Капитонович (1986), Трактат об операторе сдвига: теория спектральных функций , Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-15021-5