Вектор Дарбу - Darboux vector

В дифференциальной геометрии , особенно в теории пространственных кривых, вектор Дарбу - это вектор угловой скорости системы отсчета Френе пространственной кривой. Он назван в честь Гастона Дарбу, который его открыл. Его также называют вектором углового момента , потому что он прямо пропорционален угловому моменту .

В терминах аппарата Френе-Серре вектор Дарбу ω можно выразить как

${\ Displaystyle {\ boldsymbol {\ omega}} = \ тау \ mathbf {T} + \ kappa \ mathbf {B} \ qquad \ qquad (1)}$

и обладает следующими симметричными свойствами:

${\ displaystyle {\ boldsymbol {\ omega}} \ times \ mathbf {T} = \ mathbf {T '},}$

${\ displaystyle {\ boldsymbol {\ omega}} \ times \ mathbf {N} = \ mathbf {N '},}$

${\ displaystyle {\ boldsymbol {\ omega}} \ times \ mathbf {B} = \ mathbf {B '},}$

которое может быть получено из уравнения (1) с помощью теоремы Френе-Серре (или наоборот).

Пусть твердый объект движется по правильной кривой, параметрически описываемой β ( t ). Этот объект имеет свою собственную внутреннюю систему координат . Когда объект движется по кривой, пусть его внутренняя система координат остается выровненной с рамкой Френе кривой. При этом движение объекта будет описываться двумя векторами: вектором переноса и вектором вращения ω , который является вектором площадной скорости: вектором Дарбу.

Обратите внимание, что это вращение является кинематическим , а не физическим, потому что обычно, когда жесткий объект свободно движется в пространстве, его вращение не зависит от его перемещения. Исключением может быть случай, когда вращение объекта физически ограничено, чтобы выровнять себя с перемещением объекта, как в случае с тележкой американских горок .

Рассмотрим твердый объект, плавно движущийся по правильной кривой. После того, как перевод «вычеркнут», объект будет вращаться так же, как и его рамка Френета. Общий поворот рамки Френе - это комбинация вращений каждого из трех векторов Френе:

${\ displaystyle {\ boldsymbol {\ omega}} = {\ boldsymbol {\ omega}} _ {\ mathbf {T}} + {\ boldsymbol {\ omega}} _ {\ mathbf {N}} + {\ boldsymbol { \ omega}} _ {\ mathbf {B}}.}$

Каждый вектор Френе движется вокруг «исходной точки», которая является центром жесткого объекта (выберите некоторую точку внутри объекта и назовите ее его центром). Поверхностная скорость касательного вектора равна:

${\ displaystyle {\ boldsymbol {\ omega}} _ {\ mathbf {T}} = \ lim _ {\ Delta t \ rightarrow 0} {\ mathbf {T} (t) \ times \ mathbf {T} (t + \ Дельта t) \ более 2 \, \ Delta t}}$

${\ displaystyle = {\ mathbf {T} (t) \ times \ mathbf {T '} (t) \ over 2}.}$

Точно так же

${\ displaystyle {\ boldsymbol {\ omega}} _ {\ mathbf {N}} = {1 \ over 2} \ \ mathbf {N} (t) \ times \ mathbf {N '} (t),}$

${\ displaystyle {\ boldsymbol {\ omega}} _ {\ mathbf {B}} = {1 \ over 2} \ \ mathbf {B} (t) \ times \ mathbf {B '} (t).}$

Теперь применим теорему Френе-Серре, чтобы найти компоненты площадной скорости:

${\ displaystyle {\ boldsymbol {\ omega}} _ {\ mathbf {T}} = {1 \ over 2} \ mathbf {T} \ times \ mathbf {T '} = {1 \ over 2} \ kappa \ mathbf {T} \ times \ mathbf {N} = {1 \ over 2} \ kappa \ mathbf {B}}$

${\ displaystyle {\ boldsymbol {\ omega}} _ {\ mathbf {N}} = {1 \ over 2} \ mathbf {N} \ times \ mathbf {N '} = {1 \ over 2} (- \ kappa \ mathbf {N} \ times \ mathbf {T} + \ tau \ mathbf {N} \ times \ mathbf {B}) = {1 \ over 2} (\ kappa \ mathbf {B} + \ tau \ mathbf {T })}$

${\ displaystyle {\ boldsymbol {\ omega}} _ {\ mathbf {B}} = {1 \ over 2} \ mathbf {B} \ times \ mathbf {B '} = - {1 \ over 2} \ tau \ mathbf {B} \ times \ mathbf {N} = {1 \ over 2} \ tau \ mathbf {T}}$

так что

${\ displaystyle {\ boldsymbol {\ omega}} = {1 \ более 2} \ kappa \ mathbf {B} + {1 \ over 2} (\ kappa \ mathbf {B} + \ tau \ mathbf {T}) + {1 \ over 2} \ tau \ mathbf {T} = \ kappa \ mathbf {B} + \ tau \ mathbf {T},}$

как заявлено.

Вектор Дарбу обеспечивает краткий способ геометрической интерпретации кривизны κ и кручения τ : кривизна - это мера поворота системы отсчета Френе вокруг бинормального единичного вектора, тогда как кручение - это мера вращения системы отсчета Френе вокруг единичного касательного вектора. .

Ссылки