Конструктивная связка - Constructible sheaf

В математике , А построимо пучок является пучком из абелевых групп над некоторым топологическим пространством X , такими , что X является объединением конечного числа локально замкнутых подмножеств на каждом из которых пучок является локально постоянным пучком. Это обобщение конструктивной топологии в классической алгебраической геометрии.

В этальных когомологиях конструктивные пучки определяются аналогичным образом ( Deligne 1977 , IV.3). Пучок абелевых групп на нётеровой схеме называется конструктивным, если схема имеет конечное покрытие локально замкнутыми подсхемами, на которых пучок является локально постоянным конструктивным (смысл представлен этальным покрытием). О производной категории конструктивных пучков см. Раздел в ℓ-адическом пучке .

Теорема конечности в этальных когомологиях утверждает, что высшие прямые образы конструктивного пучка конструктивны.

Определение этальных конструктивных пучков на схеме X

Здесь мы используем определение конструируемых этальных пучков из книги Фрайтага и Киля, ссылка на которую приводится ниже. В дальнейшем в этом пункте все пучки на схемах являются этальными пучками, если не указано иное. ${\ Displaystyle {\ mathcal {F}}}$${\ displaystyle X}$

Пучок называется конструктивным, если его можно записать как конечное объединение локально замкнутых подсхем, такое что для каждой подсхемы покрытия пучок является конечным локально постоянным пучком. В частности, это означает, что для каждой подсхемы, входящей в конечное покрытие, существует этальное покрытие, такое что для всех этальных подсхем в покрытии пучок является постоянным и представлен конечным множеством. ${\ Displaystyle {\ mathcal {F}}}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle i_ {Y}: от Y \ до X}$${\ displaystyle Y}$${\ displaystyle {\ mathcal {F}} | _ {Y} = i_ {Y} ^ {\ ast} {\ mathcal {F}}}$${\ displaystyle Y}$${\ displaystyle \ lbrace U_ {i} \ к Y \ mid i \ in I \ rbrace}$${\ displaystyle Y}$${\ displaystyle (я_ {Y}) ^ {\ ast} {\ mathcal {F}} | _ {U_ {i}}}$

Это определение позволяет нам вывести из нётеровой индукции и того факта, что этальный пучок постоянен тогда и только тогда, когда его ограничение от до также постоянно, где - редукция схемы . Отсюда следует, что представимый этальный пучок сам по себе конструктивен. ${\ displaystyle X}$${\ displaystyle X _ {\ text {красный}}}$${\ displaystyle X _ {\ text {красный}}}$${\ displaystyle X}$${\ Displaystyle {\ mathcal {F}}}$

Особый интерес для теории конструктивных этальных пучков представляет случай работы с конструктивными этальными пучками абелевых групп. Замечательный результат состоит в том, что конструктивные этальные пучки абелевых групп являются в точности нётеровыми объектами в категории всех крутильных этальных пучков (см. Предложение I.4.8 Фрайтаг-Киля).

Примеры в алгебраической топологии

Большинство примеров конструктивных пучков происходят из пучков когомологий пересечения или из производных прямых локальных систем на семействе топологических пространств, параметризованных базовым пространством.

Полученный pushforward на P ¹

Один хороший набор примеров конструктивных пучков происходит из производной прямой (с компактной опорой или без нее) локальной системы на . Поскольку любая петля гомотопна петле вокруг, нам нужно только описать монодромию вокруг и . Например, мы можем установить операторы монодромии как ${\ Displaystyle U = \ mathbb {P} ^ {1} - \ {0,1, \ infty \}}$${\ displaystyle \ infty}$${\ displaystyle 0,1}$${\ displaystyle 1}$

${\ displaystyle {\ begin {align} T_ {0} = {\ begin {bmatrix} 1 & k \\ 0 & 1 \ end {bmatrix}} & T_ {1} = {\ begin {bmatrix} 1 & l \\ 0 & 1 \ end {bmatrix} } \ конец {выровнено}}}$

где стебли нашей локальной системы изоморфны . Тогда, если мы возьмем производную прямым образ или из за получает конструктивизируемый пучок , где стебли в точках вычисление когомологий локальных систем , ограниченных их окрестности в . ${\ Displaystyle {\ mathcal {L}}}$${\ Displaystyle \ mathbb {Q} ^ {\ oplus 2}}$${\ displaystyle \ mathbf {R} j _ {*}}$${\ displaystyle \ mathbf {R} j_ {!}}$${\ Displaystyle {\ mathcal {L}}}$${\ displaystyle j: U \ to \ mathbb {P} ^ {1}}$${\ displaystyle 0,1, \ infty}$${\ displaystyle U}$

Семейство эллиптических кривых Вейерштрасса

Например, рассмотрим семейство вырождающихся эллиптических кривых

${\ displaystyle y ^ {2} -x (x-1) (xt)}$

кончено . При этом семейство кривых вырождается в узловую кривую. Если обозначить это семейство через то ${\ Displaystyle \ mathbb {C}}$${\ displaystyle t = 0,1}$${\ displaystyle \ pi: X \ to \ mathbb {C}}$

${\ displaystyle \ mathbf {R} ^ {0} \ pi _ {*} ({\ underline {\ mathbb {Q}}} _ {X}) \ cong \ mathbf {R} ^ {2} \ pi _ { *} ({\ underline {\ mathbb {Q}}} _ {X}) \ cong {\ underline {\ mathbb {Q}}} _ {\ mathbb {C}}}$

а также

${\ displaystyle \ mathbf {R} ^ {1} \ pi _ {*} ({\ underline {\ mathbb {Q}}} _ {X}) \ cong {\ mathcal {L}} _ {\ mathbb {C } - \ {0,1 \}} \ oplus {\ underline {\ mathbb {Q}}} _ {\ {0,1 \}}}$

где стебли локальной системы изоморфны . Эта локальная монодромия вокруг этой локальной системы может быть вычислена с использованием формулы Пикара – Лефшеца${\ Displaystyle {\ mathcal {L}} _ {\ mathbb {C} - \ {0,1 \}}}$${\ Displaystyle \ mathbb {Q} ^ {2}}$${\ displaystyle 0,1}$

использованная литература

Примечания к семинару

• Ганнингем, Сэм; Хьюз, Ричард, Темы в D-модулях (PDF) , заархивировано из оригинала (PDF) 21 сентября 2017 г.

использованная литература

• Делинь, Пьер , изд. (1977), Séminaire de Géométrie Algébrique du Bois Marie - Cohomologie étale (SGA 4.5) , Лекционные заметки по математике (на французском языке), 569 , Берлин: Springer-Verlag , doi : 10.1007 / BFb0091516 , ISBN 978-0-387-08066-6, заархивировано из оригинала 15 мая 2009 г. , получено 9 февраля 2010 г.
• Димка, Александру (2004), Пучки в топологии , Universitext, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN 978-3-540-20665-1, Руководство по ремонту  2050072
• Фрейтаг, Эберхард; Киль, Рейнхардт (1988), Etale Cohomology and the Weil Conjecture , Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete (3), 13 , Берлин: Springer-Verlag, doi : 10.1007 / 978-3-662-02541-3 , ISBN 3-540-12175-7, Руководство по ремонту  0926276