Уравнение кристалла - Chrystal's equation

В математике , уравнение Кристал в это первый порядок нелинейного обыкновенного дифференциального уравнения , названный в честь математика Джорджа Chrystal , который обсуждал особое решение этого уравнения в 1896. Уравнение гласит

${\ displaystyle \ left ({\ frac {dy} {dx}} \ right) ^ {2} + Ax {\ frac {dy} {dx}} + By + Cx ^ {2} = 0}$

где - константы, которые при решении для дают ${\ Displaystyle А, \ В, \ С}$${\ displaystyle dy / dx}$

${\ displaystyle {\ frac {dy} {dx}} = - {\ frac {A} {2}} x \ pm {\ frac {1} {2}} (A ^ {2} x ^ {2} - 4By-4Cx ^ {2}) ^ {1/2}.}$

Это уравнение является обобщением уравнения Клеро, поскольку оно сводится к уравнению Клеро при определенных условиях, как указано ниже.

Решение

Введение преобразования дает ${\ displaystyle 4By = (A ^ {2} -4C-z ^ {2}) x ^ {2}}$

${\ displaystyle xz {\ frac {dz} {dx}} = A ^ {2} + AB-4C \ pm Bz-z ^ {2}.}$

Теперь уравнение разделимо, поэтому

${\ displaystyle {\ frac {z \, dz} {A ^ {2} + AB-4C \ pm Bz-z ^ {2}}} = {\ frac {dx} {x}}.}$

Знаменатель в левой части можно разложить на множители, если мы решим корни уравнения, а корни равны , поэтому ${\ displaystyle A ^ {2} + AB-4C \ pm Bz-z ^ {2} = 0}$${\ displaystyle a, \ b = \ pm \ left [B + {\ sqrt {(2A + B) ^ {2} -16C}} \ right] / 2}$

${\ displaystyle {\ frac {z \, dz} {(za) (zb)}} = {\ frac {dx} {x}}.}$

Если решение ${\ displaystyle a \ neq b}$

${\ Displaystyle х {\ гидроразрыва {(za) ^ {a / (ab)}} {(zb) ^ {b / (ab)}}} = k}$

где - произвольная постоянная. Если , ( ), то решение ${\ displaystyle k}$${\ displaystyle a = b}$${\ displaystyle (2A + B) ^ {2} -16C = 0}$

${\ displaystyle x (za) \ exp \ left [{\ frac {a} {az}} \ right] = k.}$

Когда один из корней равен нулю, уравнение сводится к уравнению Клеро, и в этом случае получается параболическое решение, и решение ${\ displaystyle A ^ {2} + AB-4C = 0}$

${\ displaystyle x (z \ pm B) = k, \ quad \ Rightarrow \ quad 4By = -ABx ^ {2} - (k \ pm Bx) ^ {2}.}$

Вышеупомянутое семейство парабол охвачено параболой , поэтому эта охватывающая парабола является единственным решением . ${\ displaystyle 4By = -ABx ^ {2}}$

Ссылки