Уравнение Чепмена – Колмогорова - Chapman–Kolmogorov equation

В математике , особенно в теории марковских случайных процессов в теории вероятностей , уравнение Чепмена – Колмогорова - это тождество, связывающее совместные распределения вероятностей различных наборов координат на случайном процессе. Уравнение было независимо получено британским математиком Сиднеем Чепменом и российским математиком Андреем Колмогоровым .

Математическое описание

Предположим, что { f _i } - это индексированный набор случайных величин, то есть случайный процесс. Позволять

${\ displaystyle p_ {i_ {1}, \ ldots, i_ {n}} (f_ {1}, \ ldots, f_ {n})}$

- совместная функция плотности вероятности значений случайных величин от f ₁ до f _n . Тогда уравнение Чепмена – Колмогорова имеет вид

${\ displaystyle p_ {i_ {1}, \ ldots, i_ {n-1}} (f_ {1}, \ ldots, f_ {n-1}) = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} p_ {i_ {1}, \ ldots, i_ {n}} (f_ {1}, \ ldots, f_ {n}) \, df_ {n}}$

т.е. прямая маргинализация по мешающей переменной .

(Обратите внимание, что еще ничего не предполагалось о временном (или любом другом) упорядочивании случайных величин - приведенное выше уравнение в равной степени применимо к маргинализации любой из них.)

Приложение к цепям Маркова с замедленным временем

Когда рассматриваемый случайный процесс является марковским , уравнение Чепмена – Колмогорова эквивалентно тождеству плотностей переходов. В установке цепи Маркова предполагается, что i ₁  <... <  i _n . Тогда из - за марковского свойства ,

${\ displaystyle p_ {i_ {1}, \ ldots, i_ {n}} (f_ {1}, \ ldots, f_ {n}) = p_ {i_ {1}} (f_ {1}) p_ {i_ { 2}; i_ {1}} (f_ {2} \ mid f_ {1}) \ cdots p_ {i_ {n}; i_ {n-1}} (f_ {n} \ mid f_ {n-1}) ,}$

где условная вероятность - это вероятность перехода между временами . Итак, уравнение Чепмена – Колмогорова принимает вид ${\ displaystyle p_ {i; j} (f_ {i} \ mid f_ {j})}$${\ displaystyle i> j}$

${\ displaystyle p_ {i_ {3}; i_ {1}} (f_ {3} \ mid f_ {1}) = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} p_ {i_ {3}; i_ { 2}} (f_ {3} \ mid f_ {2}) p_ {i_ {2}; i_ {1}} (f_ {2} \ mid f_ {1}) \, df_ {2}.}$

Неформально это говорит о том, что вероятность перехода из состояния 1 в состояние 3 может быть найдена из вероятностей перехода из 1 в промежуточное состояние 2, а затем из 2 в 3, суммируя все возможные промежуточные состояния 2.

Когда распределение вероятностей в пространстве состояний цепи Маркова является дискретным, а цепь Маркова однородна, уравнения Чепмена – Колмогорова могут быть выражены в терминах (возможно, бесконечномерного) матричного умножения , таким образом:

${\ Displaystyle P (t + s) = P (t) P (s) \,}$

где P ( t ) - матрица перехода скачка t , т. е. P ( t ) - матрица, такая что запись (i, j) содержит вероятность перехода цепочки из состояния i в состояние j за t шагов.

Как следствие следует, что для вычисления матрицы перехода скачка t достаточно возвести матрицу перехода скачка один в степень t , т. Е.

${\ Displaystyle Р (т) = Р ^ {т}. \,}$

Дифференциальная форма уравнения Чепмена – Колмогорова известна как основное уравнение .

Смотрите также

• Уравнение Фоккера – Планка (также известное как прямое уравнение Колмогорова)
• Колмогорова обратное уравнение
• Примеры цепей Маркова

Ссылки

• Вайсштейн, Эрик В. "Уравнение Чепмена – Колмогорова" . MathWorld .

дальнейшее чтение

• Росс, Шелдон М. (2014). «Глава 4.2: Уравнения Чепмена – Колмогорова». Введение в вероятностные модели (11-е изд.). п. 187. ISBN. 978-0-12-407948-9.