Битангенсы квартики - Bitangents of a quartic

Кривая Тротта и семь ее касательных. Остальные симметричны относительно поворота на 90 ° через начало координат.

Кривая Тротта со всеми 28 касательными к битам.

В теории алгебраических кривых плоскости , общая квартика плоская кривая имеет 28 бикасательная линии, линии, касательные к кривой в двух местах. Эти прямые существуют в комплексной проективной плоскости , но можно определить кривые четвертой степени, для которых все 28 из этих линий имеют действительные числа в качестве своих координат и, следовательно, принадлежат евклидовой плоскости .

Явный квартик с двадцатью восемь реальными бикасательными впервые был дан плюккеровым  ( 1839 ) Как показал Плюккеровой, число действительных бикасательных любого квартике должно быть 28, 16, или несколько меньше 9. Другим квартиком с 28 реальными бикасательными может быть образовано геометрическим местом центров эллипсов с фиксированной длиной оси, касательной к двум непараллельным прямым. Шиода (1995) дал другую конструкцию квартики с двадцатью восемью касательными к битам, образованную проецированием кубической поверхности ; Двадцать семь битангенсов к кривой Шиоды действительны, а двадцать восьмая - это линия на бесконечности в проективной плоскости.

Пример

Кривой Тротт , другие кривой с 28 реальными бикасательными, есть множество точек ( х , у ) , удовлетворяющих степени четыре полиномиального уравнения

${\ displaystyle \ displaystyle 144 (x ^ {4} + y ^ {4}) - 225 (x ^ {2} + y ^ {2}) + 350x ^ {2} y ^ {2} + 81 = 0. }$

Эти точки образуют неособую кривую четвертой степени, имеющую род три и имеющую двадцать восемь реальных битангенсов .

Подобно примерам Плюккера, Блюма и Гинанда, кривая Тротта имеет четыре разделенных овала, максимальное число для кривой четвертой степени, и, следовательно, является M-кривой . Четыре овала можно сгруппировать в шесть разных пар овалов; для каждой пары овалов есть четыре касательных к обоим овалам в паре, два, которые разделяют два овала, и два, которые не касаются друг друга. Кроме того, каждый овал ограничивает невыпуклую область плоскости и имеет один касательный к биту, охватывающий невыпуклую часть его границы.

Связи с другими структурами

Двойственная кривая к квартике кривой имеет 28 реальных обыкновенных двойных точек, двойственные 28 бикасательных о первичной кривой.

28 битангенсов квартики можно также поставить в соответствие с символами вида

${\ displaystyle \ left [{\ begin {array} {ccc} a & b & c \\ d & e & f \\\ end {array}} \ right]}$

где a , b , c , d , e и f равны нулю или единице и где

ad + be + cf = 1 (мод 2).

Есть 64 варианта для a , b , c , d , e и f , но только 28 из этих вариантов дают нечетную сумму. Можно также интерпретировать a , b и c как однородные координаты точки плоскости Фано, а d , e и f как координаты прямой в той же конечной проективной плоскости; условие, что сумма нечетная, эквивалентно требованию, чтобы точка и линия не касались друг друга, и существует 28 различных пар точки и линии, которые не соприкасаются.

Точки и прямые плоскости Фано, которые не пересекаются с парой непадающих точек и прямых, образуют треугольник, и битангенсы квартики считаются соответствующими 28 треугольникам плоскости Фано. Граф Леви плоскости Фано - это граф Хивуда , в котором треугольники плоскости Фано представлены 6-циклами. 28 6-циклов графа Хивуда, в свою очередь, соответствуют 28 вершинам графа Кокстера .

28 битаангенсов квартики также соответствуют парам из 56 линий на поверхности дель Пеццо степени 2 и 28 нечетным тета-характеристикам .

27 линий кубики и 28 касательных к битам квартики вместе со 120 плоскостями тритангенса канонической секстической кривой рода 4 образуют « троицу » в смысле Владимира Арнольда , в частности форму соответствия Маккея , и могут быть связаны со многими другими объектами, включая E ₇ и E ₈ , как обсуждалось в троицах .

Примечания

использованная литература

• Blum, R .; Guinand, AP (1964). «Квартика с 28 действительными битангензами» . Канадский математический бюллетень . 7 (3): 399–404. DOI : 10,4153 / CMB-1964-038-6 .
• Кэли, Артур (1879), "О касательных к четверти", Кривые высшей плоскости Салмона , стр. 387–389. В сборнике математических статей Артура Кэли , Эндрю Рассела Форсайта, изд., The University Press, 1896, vol. 11. С. 221–223.
• Серый, Джереми (1982), "Из истории простой группы", Математическая Интеллидженсер , 4 (2): 59-67, DOI : 10.1007 / BF03023483 , MR  0672918 , S2CID  14602496. Перепечатано в Levy, Silvio, ed. (1999), Восьмеричный путь , Публикации ИИГС, 35 , Cambridge University Press, стр. 115–131, ISBN 0-521-66066-1, MR  1722415.
• Manivel, L. (2006), "Конфигурация линий и моделей алгебр Ли", журнал алгебра , 304 (1): 457-486, Arxiv : математика / 0507118 , DOI : 10.1016 / j.jalgebra.2006.04.029 , S2CID  17374533.
• Plücker, J. (1839), Theorie der algebraischen Curven: gegrundet auf eine neue Behandlungsweise der analytischen Geometrie , Берлин: Адольф Маркус.
• Риман, GFB (1876), "Zur Theorie der Abel'schen Funktionen für den Fall p  = 3", Ges. Werke , Leipzig, pp. 456–472.. Цитируется Кэли.
• Сиода, Тецудзи (1995), "Преобразования Вейерштрасса и кубические поверхности" (PDF) , Математические комментарии Universitatis Sancti Pauli , 44 (1): 109–128, MR  1336422
• Тротт, Майкл (1997), "Применение базиса Грёбнера к трем задачам геометрии", Mathematica in Education и Research , 6 (1): 15–28.