Бекенштейн связан - Bekenstein bound

Согласно Бекенштейн, то энтропия из черной дыры пропорциональна числу планковских областей , что потребуется , чтобы покрыть черную дыру горизонта событий .

В физике , то Бекенштейн (названный в честь Бекенштейна ) представляет собой верхний предел на термодинамической энтропии S , или энтропия Шеннон Н , которые могут содержаться в пределах заданной конечной области пространства , который имеет конечное количество энергии , или , наоборот, максимальный объем информации, необходимый для точного описания данной физической системы вплоть до квантового уровня. Это означает, что информация о физической системе или информация, необходимая для точного описания этой системы, должна быть конечной, если область пространства и энергия конечны. В информатике это означает, что существует максимальная скорость обработки информации ( предел Бремермана ) для физической системы, которая имеет конечный размер и энергию, и что машина Тьюринга с конечными физическими размерами и неограниченной памятью физически невозможна.

Уравнения

Универсальная форма оценки была первоначально найдена Якобом Бекенштейном в 1981 году как неравенство

${\ displaystyle S \ leq {\ frac {2 \ pi kRE} {\ hbar c}},}$

где S является энтропия , к является постоянная Больцмана , R представляет собой радиус из сферы , которые могут окружать данную систему, Е является общая масса-энергия включая любые массы покоя , ħ является приведенная постоянная Планка , а с это скорость свет . Обратите внимание , что в то время как гравитация играет важную роль в его исполнении, выражение для границы не содержит гравитационную постоянную  G .

В информационных терминах связь между термодинамической энтропией S и энтропией Шеннона H определяется выражением

${\ Displaystyle S = kH \ ln 2,}$

откуда

${\ displaystyle H \ leq {\ frac {2 \ pi RE} {\ hbar c \ ln 2}},}$

где H - энтропия Шеннона, выраженная в количестве битов, содержащихся в квантовых состояниях сферы. Пер  фактор 2 исходит из определения информации как логарифм к основанию 2 числа квантовых состояний. Используя эквивалентность массы и энергии , информационный предел можно переформулировать как

${\ displaystyle H \ leq {\ frac {2 \ pi cRM} {\ hbar \ ln 2}} \ примерно 2,5769082 \ раз 10 ^ {43} \ {\ frac {\ text {bit}} {{\ text {кг }} \ cdot {\ text {m}}}} \ cdot M \ cdot R,}$

где - масса (в кг), а - радиус (в метрах) системы. ${\ displaystyle M}$${\ displaystyle R}$

Происхождение

Бекенштейн получил оценку на основе эвристических аргументов, касающихся черных дыр . Бекенштейн утверждал, что если существует система, которая нарушает границы, т. Е. Имеет слишком большую энтропию, то можно нарушить второй закон термодинамики , опустив ее в черную дыру. В 1995 году Тед Якобсон продемонстрировал, что уравнения поля Эйнштейна (т. Е. Общая теория относительности ) могут быть выведены, если предположить, что оценка Бекенштейна и законы термодинамики верны. Тем не менее, несмотря на то, что был разработан ряд аргументов, которые показывают, что для того, чтобы законы термодинамики и общей теории относительности были взаимно согласованными, должна существовать определенная форма ограничения, точная формулировка границы была предметом споров до работы Касини в 2008 году. .

Доказательство в квантовой теории поля

Доказательство границы Бекенштейна в рамках квантовой теории поля было дано в 2008 году Казини. Одна из важнейших идей доказательства состояла в том, чтобы найти правильную интерпретацию величин, фигурирующих по обе стороны границы.

Наивные определения энтропии и плотности энергии в квантовой теории поля страдают от ультрафиолетовых расхождений . В случае границы Бекенштейна ультрафиолетовых расхождений можно избежать, взяв разницу между величинами, вычисленными в возбужденном состоянии, и теми же величинами, вычисленными в вакуумном состоянии. Например, учитывая пространственную область , Казини определяет энтропию в левой части границы Бекенштейна как ${\ displaystyle V}$

${\ Displaystyle S_ {V} = S (\ rho _ {V}) - S (\ rho _ {V} ^ {0}) = - \ mathrm {tr} (\ rho _ {V} \ log \ rho _ {V}) + \ mathrm {tr} (\ rho _ {V} ^ {0} \ log \ rho _ {V} ^ {0})}$

где это энтропии фон Неймана из матрицы пониженной плотности , связанной с в возбужденном состоянии , и представляет собой соответствующий энтропии фон Неймана для вакуумного состояния . ${\ Displaystyle S (\ rho _ {V})}$ ${\ displaystyle \ rho _ {V}}$${\ displaystyle V}$${\ displaystyle \ rho}$${\ Displaystyle S (\ rho _ {V} ^ {0})}$${\ displaystyle \ rho ^ {0}}$

Что касается правой части границы Бекенштейна, то трудным моментом является дать строгую интерпретацию величины , где - характерный масштаб длины системы, а - характерная энергия. Этот продукт имеет те же блоки, что и генератор буста Лоренца , и естественным аналогом буста в этой ситуации является модульный гамильтониан вакуумного состояния . Казини определяет правую часть границы Бекенштейна как разницу между математическим ожиданием модульного гамильтониана в возбужденном и вакуумном состояниях: ${\ displaystyle 2 \ pi RE}$${\ displaystyle R}$${\ displaystyle E}$${\ Displaystyle К = - \ журнал \ rho _ {V} ^ {0}}$

${\ displaystyle K_ {V} = \ mathrm {tr} (K \ rho _ {V}) - \ mathrm {tr} (K \ rho _ {V} ^ {0}).}$

С этими определениями граница читается как

${\ Displaystyle S_ {V} \ leq K_ {V},}$

который можно переставить, чтобы получить

${\ Displaystyle \ mathrm {tr} (\ rho _ {V} \ log \ rho _ {V}) - \ mathrm {tr} (\ rho _ {V} \ log \ rho _ {V} ^ {0}) \ geq 0.}$

Это просто утверждение о положительности относительной энтропии , которое доказывает оценку Бекенштейна.

Примеры

Черные дыры

Бывает, что граничная энтропия Бекенштейна – Хокинга трехмерных черных дыр в точности насыщает границу

${\ displaystyle r _ {\ rm {s}} = {\ frac {2GM} {c ^ {2}}},}$

${\ displaystyle A = 4 \ pi r _ {\ rm {s}} ^ {2} = {\ frac {16 \ pi G ^ {2} M ^ {2}} {c ^ {4}}},}$

${\ displaystyle l _ {\ rm {P}} ^ {2} = \ hbar G / c ^ {3},}$

${\ displaystyle S = {\ frac {kA} {4 \ l _ {\ rm {P}} ^ {2}}} = {\ frac {4 \ pi kGM ^ {2}} {\ hbar c}},}$

где - постоянная Больцмана , A - двумерная область горизонта событий черной дыры и - планковская длина . ${\ displaystyle k}$${\ displaystyle l _ {\ rm {P}}}$

Эта граница тесно связана с термодинамикой черной дыры , голографическим принципом и ковариантной энтропийной границей квантовой гравитации и может быть получена из предполагаемой сильной формы последней.

Человеческий мозг

Средний человеческий мозг имеет массу 1,5 кг и объем 1260 см ³ . Если мозг аппроксимировать сферой, то радиус будет 6,7 см.

Информационная граница Бекенштейна будет около 2,6 × 10 ⁴²  бита и представляет собой максимальную информацию, необходимую для точного воссоздания среднего человеческого мозга до квантового уровня. Это означает , что число из состояний человеческого мозга должно быть меньше . ${\ displaystyle O = 2 ^ {I}}$${\ displaystyle \ приблизительно 10 ^ {7,8 \ times 10 ^ {41}}}$

Смотрите также