Асимптотическое распределение - Asymptotic distribution

В математике и статистике , асимптотическое распределение является распределением вероятностей , что в некотором смысле «ограничение» распределение последовательности распределений. Одним из основных применений идеи асимптотического распределения является обеспечение приближения к кумулятивным функциям распределения статистических оценок .

Определение

Последовательность распределения соответствуют к последовательности из случайных величин Z _I для I = 1, 2, ..., я. В простейшем случае асимптотическое распределение существует, если распределение вероятностей Z _i сходится к распределению вероятностей (асимптотическому распределению) при увеличении i : см. Сходимость в распределении . Частный случай асимптотического распределения - это когда последовательность случайных величин всегда равна нулю или Z _i = 0, когда i стремится к бесконечности. Здесь асимптотическое распределение является вырожденным распределением , соответствующим нулевому значению.

Однако наиболее обычный смысл, в котором используется термин асимптотическое распределение, возникает, когда случайные величины Z _i модифицируются двумя последовательностями неслучайных значений. Таким образом, если

${\ displaystyle Y_ {i} = {\ frac {Z_ {i} -a_ {i}} {b_ {i}}}}$

сходится по распределению к невырожденному распределению для двух последовательностей { a _i } и { b _i }, то говорят, что Z _i имеет это распределение в качестве своего асимптотического распределения. Если функция распределения асимптотического распределения равна F, то для больших n справедливы следующие приближения

${\ displaystyle P \ left ({\ frac {Z_ {n} -a_ {n}} {b_ {n}}} \ leq x \ right) \ приблизительно F (x),}$

${\ Displaystyle P (Z_ {n} \ leq z) \ приблизительно F \ left ({\ frac {z-a_ {n}} {b_ {n}}} \ right).}$

Если существует асимптотическое распределение, не обязательно верно, что любой результат последовательности случайных величин является сходящейся последовательностью чисел. Сходится последовательность вероятностных распределений.

Центральная предельная теорема

Возможно, наиболее распространенным распределением, которое возникает как асимптотическое распределение, является нормальное распределение . В частности, центральная предельная теорема дает пример, когда асимптотическое распределение является нормальным распределением .

Центральная предельная теорема

Предположим, что { X ₁ , X ₂ , ...} - последовательность случайных величин iid с E [ X _i ] = µ и Var [ X _i ] = σ ² <∞. Пусть S _n - среднее значение { X ₁ , ..., X _n }. Затем, когда n приближается к бесконечности, случайные величины √ n ( S _n - µ) сходятся по распределению к нормальному N (0, σ ² ):

Центральная предельная теорема дает только асимптотическое распределение. В качестве приближения для конечного числа наблюдений оно обеспечивает разумное приближение только тогда, когда оно близко к пику нормального распределения; требуется очень большое количество наблюдений, чтобы простираться до хвоста.

Локальная асимптотическая нормальность

Локальная асимптотическая нормальность является обобщением центральной предельной теоремы. Это свойство последовательности статистических моделей , которое позволяет асимптотически аппроксимировать эту последовательность моделью нормального местоположения после изменения масштаба параметра. Важным примером, когда выполняется локальная асимптотическая нормальность, является случай независимой и одинаково распределенной выборки из регулярной параметрической модели ; это просто центральная предельная теорема.

Барндорф-Нильсон и Кокс дают прямое определение асимптотической нормальности.

Смотрите также

• Асимптотический анализ
• Асимптотическая теория (статистика)
• Теорема де Муавра – Лапласа
• Предельная плотность дискретных точек
• Дельта-метод

использованная литература