Ассоциированные полиномы Лежандра - Associated Legendre polynomials

В математике , то соответствующие полиномы Лежандра являются каноническими решениями общего уравнения Лежандра

${\ displaystyle (1-x ^ {2}) {\ frac {d ^ {2}} {dx ^ {2}}} P _ {\ ell} ^ {m} (x) -2x {\ frac {d} {dx}} P _ {\ ell} ^ {m} (x) + \ left [\ ell (\ ell +1) - {\ frac {m ^ {2}} {1-x ^ {2}}} \ справа] P _ {\ ell} ^ {m} (x) = 0}$,

или эквивалентно

${\ displaystyle {\ frac {d} {dx}} \ left [(1-x ^ {2}) {\ frac {d} {dx}} P _ {\ ell} ^ {m} (x) \ right] + \ left [\ ell (\ ell +1) - {\ frac {m ^ {2}} {1-x ^ {2}}} \ right] P _ {\ ell} ^ {m} (x) = 0 }$,

где индексы ℓ и m (которые являются целыми числами) называются степенью и порядком ассоциированного многочлена Лежандра соответственно. Это уравнение имеет ненулевые решения, неособые на [−1, 1], только если ℓ и m - целые числа с 0 ≤ m ≤ ℓ или с тривиально эквивалентными отрицательными значениями. Если вдобавок m четно, функция является полиномом . Когда m равно нулю и ℓ целое число, эти функции идентичны полиномам Лежандра . В общем, когда ℓ и mявляются целыми числами, регулярные решения иногда называют «ассоциированными полиномами Лежандра», даже если они не являются полиномами, когда m нечетно. Полностью общий класс функций с произвольными действительными или комплексными значениями ℓ и m - это функции Лежандра . В этом случае параметры обычно обозначаются греческими буквами.

Обыкновенное дифференциальное уравнение Лежандра часто встречается в физике и других областях техники. В частности, это происходит при решении уравнения Лапласа (и связанных дифференциальных уравнений в частных производных ) в сферических координатах . Связанные полиномы Лежандра играют жизненно важную роль в определении сферических гармоник .

Определение неотрицательных целочисленных параметров ℓ и m

Эти функции обозначены , где верхний индекс указывает на порядок, а не мощность P . Их наиболее прямое определение дано в терминах производных обычных многочленов Лежандра ( m ≥ 0) ${\ Displaystyle P _ {\ ell} ^ {m} (х)}$

${\ Displaystyle P _ {\ ell} ^ {m} (x) = (- 1) ^ {m} (1-x ^ {2}) ^ {m / 2} {\ frac {d ^ {m}} { dx ^ {m}}} \ left (P _ {\ ell} (x) \ right)}$,

Фактор (-1) ^m в этой формуле известен как фаза Кондона – Шортли . Некоторые авторы опускают его. Функции, описываемые этим уравнением, удовлетворяют общему дифференциальному уравнению Лежандра с указанными значениями параметров ℓ и m следует путем дифференцирования m раз уравнения Лежандра для P _ℓ :

${\ displaystyle (1-x ^ {2}) {\ frac {d ^ {2}} {dx ^ {2}}} P _ {\ ell} (x) -2x {\ frac {d} {dx}} P _ {\ ell} (x) + \ ell (\ ell +1) P _ {\ ell} (x) = 0.}$

Кроме того, так как по формуле Родриги ,

${\ displaystyle P _ {\ ell} (x) = {\ frac {1} {2 ^ {\ ell} \, \ ell!}} \ {\ frac {d ^ {\ ell}} {dx ^ {\ ell }}} \ left [(x ^ {2} -1) ^ {\ ell} \ right],}$

P^м
_ℓ можно выразить в виде

${\ Displaystyle P _ {\ ell} ^ {m} (x) = {\ frac {(-1) ^ {m}} {2 ^ {\ ell} \ ell!}} (1-x ^ {2}) ^ {m / 2} \ {\ frac {d ^ {\ ell + m}} {dx ^ {\ ell + m}}} ​​(x ^ {2} -1) ^ {\ ell}.}$

Это уравнение позволяет расширить диапазон m до: - ℓ ≤ m ≤ ℓ . Определения P _ℓ ^{± m} , полученные в результате замены ± m в этом выражении , пропорциональны. Действительно, приравняем коэффициенты при равных степенях в левой и правой частях

${\ displaystyle {\ frac {d ^ {\ ell -m}} {dx ^ {\ ell -m}}} (x ^ {2} -1) ^ {\ ell} = c_ {lm} (1-x ^ {2}) ^ {m} {\ frac {d ^ {\ ell + m}} {dx ^ {\ ell + m}}} ​​(x ^ {2} -1) ^ {\ ell},}$

то следует, что коэффициент пропорциональности равен

${\ displaystyle c_ {lm} = (- 1) ^ {m} {\ frac {(\ ell -m)!} {(\ ell + m)!}},}$

чтобы

${\ Displaystyle P _ {\ ell} ^ {- m} (x) = (- 1) ^ {m} {\ frac {(\ ell -m)!} {(\ ell + m)!}} P _ {\ ell} ^ {m} (x).}$

Альтернативные обозначения

В литературе также используются следующие альтернативные обозначения:

${\ Displaystyle P _ {\ ell m} (x) = (- 1) ^ {m} P _ {\ ell} ^ {m} (x)}$

Закрытая форма

Связанный полином Лежандра также можно записать как:

${\ Displaystyle P_ {l} ^ {m} (x) = (- 1) ^ {m} \ cdot 2 ^ {l} \ cdot (1-x ^ {2}) ^ {m / 2} \ cdot \ сумма _ {k = m} ^ {l} {\ frac {k!} {(км)!}} \ cdot x ^ {km} \ cdot {\ binom {l} {k}} {\ binom {\ frac {l + k-1} {2}} {l}}}$

с простыми одночленами и обобщенным видом биномиального коэффициента .

Ортогональность

Ассоциированные полиномы Лежандра, вообще говоря, не ортогональны друг другу. Например, не ортогонален . Однако некоторые подмножества ортогональны. Предполагая, что 0 ≤  m  ≤  ℓ , они удовлетворяют условию ортогональности при фиксированном m : ${\ Displaystyle P_ {1} ^ {1}}$${\ Displaystyle P_ {2} ^ {2}}$

${\ displaystyle \ int _ {- 1} ^ {1} P_ {k} ^ {m} P _ {\ ell} ^ {m} dx = {\ frac {2 (\ ell + m)!} {(2 \ ell +1) (\ ell -m)!}} \ \ delta _ {k, \ ell}}$

Где δ _{k ,  ℓ} - _символ Кронекера .

Также они удовлетворяют условию ортогональности при фиксированном ℓ :

${\ displaystyle \ int _ {- 1} ^ {1} {\ frac {P _ {\ ell} ^ {m} P _ {\ ell} ^ {n}} {1-x ^ {2}}} dx = { \ begin {cases} 0 & {\ mbox {if}} m \ neq n \\ {\ frac {(\ ell + m)!} {m (\ ell -m)!}} & {\ mbox {if}} m = n \ neq 0 \\\ infty & {\ mbox {if}} m = n = 0 \ end {case}}}$

Отрицательное m и / или отрицательное ℓ

Очевидно, дифференциальное уравнение инвариантно при изменении знака m .

Выше было показано, что функции для отрицательного m пропорциональны функциям для положительного m :

${\ displaystyle P _ {\ ell} ^ {- m} = (- 1) ^ {m} {\ frac {(\ ell -m)!} {(\ ell + m)!}} P _ {\ ell} ^ {м}}$

(Это следовало из определения формулы Родригеса. Это определение также заставляет различные формулы повторения работать для положительного или отрицательного m .)

${\ displaystyle {\ textrm {If}} \ quad {\ mid} m {\ mid}> \ ell \, \ quad \ mathrm {then} \ quad P _ {\ ell} ^ {m} = 0. \,}$

Дифференциальное уравнение также инвариантны относительно изменения от л к - л  - 1, а функции для отрицательного л определяются

${\ Displaystyle P _ {- \ ell} ^ {m} = P _ {\ ell -1} ^ {m}, \ (\ ell = 1, \, 2, \, ...)}$.

Паритет

Из их определения можно проверить, что ассоциированные функции Лежандра являются либо четными, либо нечетными в соответствии с

${\ Displaystyle P _ {\ ell} ^ {m} (- x) = (- 1) ^ {\ ell + m} P _ {\ ell} ^ {m} (x)}$

Первые несколько связанных функций Лежандра

Первые несколько связанных функций Лежандра, в том числе для отрицательных значений m , следующие:

${\ Displaystyle P_ {0} ^ {0} (х) = 1}$

${\ Displaystyle P_ {1} ^ {- 1} (x) = - {\ begin {matrix} {\ frac {1} {2}} \ end {matrix}} P_ {1} ^ {1} (x) }$

${\ Displaystyle P_ {1} ^ {0} (х) = х}$

${\ Displaystyle P_ {1} ^ {1} (х) = - (1-х ^ {2}) ^ {1/2}}$

${\ displaystyle P_ {2} ^ {- 2} (x) = {\ begin {matrix} {\ frac {1} {24}} \ end {matrix}} P_ {2} ^ {2} (x)}$

${\ Displaystyle P_ {2} ^ {- 1} (x) = - {\ begin {matrix} {\ frac {1} {6}} \ end {matrix}} P_ {2} ^ {1} (x) }$

${\ displaystyle P_ {2} ^ {0} (x) = {\ begin {matrix} {\ frac {1} {2}} \ end {matrix}} (3x ^ {2} -1)}$

${\ displaystyle P_ {2} ^ {1} (x) = - 3x (1-x ^ {2}) ^ {1/2}}$

${\ Displaystyle P_ {2} ^ {2} (х) = 3 (1-х ^ {2})}$

${\ displaystyle P_ {3} ^ {- 3} (x) = - {\ begin {matrix} {\ frac {1} {720}} \ end {matrix}} P_ {3} ^ {3} (x) }$

${\ displaystyle P_ {3} ^ {- 2} (x) = {\ begin {matrix} {\ frac {1} {120}} \ end {matrix}} P_ {3} ^ {2} (x)}$

${\ Displaystyle P_ {3} ^ {- 1} (x) = - {\ begin {matrix} {\ frac {1} {12}} \ end {matrix}} P_ {3} ^ {1} (x) }$

${\ displaystyle P_ {3} ^ {0} (x) = {\ begin {matrix} {\ frac {1} {2}} \ end {matrix}} (5x ^ {3} -3x)}$

${\ displaystyle P_ {3} ^ {1} (x) = - {\ begin {matrix} {\ frac {3} {2}} \ end {matrix}} (5x ^ {2} -1) (1- x ^ {2}) ^ {1/2}}$

${\ displaystyle P_ {3} ^ {2} (x) = 15x (1-x ^ {2})}$

${\ Displaystyle P_ {3} ^ {3} (x) = - 15 (1-x ^ {2}) ^ {3/2}}$

${\ displaystyle P_ {4} ^ {- 4} (x) = {\ begin {matrix} {\ frac {1} {40320}} \ end {matrix}} P_ {4} ^ {4} (x)}$

${\ displaystyle P_ {4} ^ {- 3} (x) = - {\ begin {matrix} {\ frac {1} {5040}} \ end {matrix}} P_ {4} ^ {3} (x) }$

${\ displaystyle P_ {4} ^ {- 2} (x) = {\ begin {matrix} {\ frac {1} {360}} \ end {matrix}} P_ {4} ^ {2} (x)}$

${\ Displaystyle P_ {4} ^ {- 1} (x) = - {\ begin {matrix} {\ frac {1} {20}} \ end {matrix}} P_ {4} ^ {1} (x) }$

${\ displaystyle P_ {4} ^ {0} (x) = {\ begin {matrix} {\ frac {1} {8}} \ end {matrix}} (35x ^ {4} -30x ^ {2} + 3)}$

${\ displaystyle P_ {4} ^ {1} (x) = - {\ begin {matrix} {\ frac {5} {2}} \ end {matrix}} (7x ^ {3} -3x) (1- x ^ {2}) ^ {1/2}}$

${\ displaystyle P_ {4} ^ {2} (x) = {\ begin {matrix} {\ frac {15} {2}} \ end {matrix}} (7x ^ {2} -1) (1-x ^ {2})}$

${\ displaystyle P_ {4} ^ {3} (x) = - 105x (1-x ^ {2}) ^ {3/2}}$

${\ Displaystyle P_ {4} ^ {4} (х) = 105 (1-х ^ {2}) ^ {2}}$

Формула повторения

Эти функции обладают рядом свойств повторения:

${\ displaystyle (\ ell -m + 1) P _ {\ ell +1} ^ {m} (x) = (2 \ ell +1) xP _ {\ ell} ^ {m} (x) - (\ ell + m) P _ {\ ell -1} ^ {m} (x)}$

${\ displaystyle 2mxP _ {\ ell} ^ {m} (x) = - {\ sqrt {1-x ^ {2}}} \ left [P _ {\ ell} ^ {m + 1} (x) + (\ ell + m) (\ ell -m + 1) P _ {\ ell} ^ {m-1} (x) \ right]}$

${\ displaystyle {\ frac {1} {\ sqrt {1-x ^ {2}}}} P _ {\ ell} ^ {m} (x) = {\ frac {-1} {2m}} \ left [ P _ {\ ell -1} ^ {m + 1} (x) + (\ ell + m-1) (\ ell + m) P _ {\ ell -1} ^ {m-1} (x) \ right] }$

${\ displaystyle {\ frac {1} {\ sqrt {1-x ^ {2}}}} P _ {\ ell} ^ {m} (x) = {\ frac {-1} {2m}} \ left [ P _ {\ ell +1} ^ {m + 1} (x) + (\ ell -m + 1) (\ ell -m + 2) P _ {\ ell +1} ^ {m-1} (x) \ верно]}$

${\ displaystyle {\ sqrt {1-x ^ {2}}} P _ {\ ell} ^ {m} (x) = {\ frac {1} {2 \ ell +1}} \ left [(\ ell - m + 1) (\ ell -m + 2) P _ {\ ell +1} ^ {m-1} (x) - (\ ell + m-1) (\ ell + m) P _ {\ ell -1} ^ {m-1} (x) \ right]}$

${\ displaystyle {\ sqrt {1-x ^ {2}}} P _ {\ ell} ^ {m} (x) = {\ frac {-1} {2 \ ell +1}} \ left [P _ {\ ell +1} ^ {m + 1} (x) -P _ {\ ell -1} ^ {m + 1} (x) \ right]}$

${\ displaystyle {\ sqrt {1-x ^ {2}}} P _ {\ ell} ^ {m + 1} (x) = (\ ell -m) xP _ {\ ell} ^ {m} (x) - (\ ell + m) P _ {\ ell -1} ^ {m} (x)}$

${\ displaystyle {\ sqrt {1-x ^ {2}}} P _ {\ ell} ^ {m + 1} (x) = (\ ell -m + 1) P _ {\ ell +1} ^ {m} (х) - (\ ell + m + 1) xP _ {\ ell} ^ {m} (x)}$

${\ displaystyle {\ sqrt {1-x ^ {2}}} {\ frac {d} {dx}} {P _ {\ ell} ^ {m}} (x) = {\ frac {1} {2} } \ left [(\ ell + m) (\ ell -m + 1) P _ {\ ell} ^ {m-1} (x) -P _ {\ ell} ^ {m + 1} (x) \ right] }$

${\ displaystyle (1-x ^ {2}) {\ frac {d} {dx}} {P _ {\ ell} ^ {m}} (x) = {\ frac {1} {2 \ ell +1} } \ left [(\ ell +1) (\ ell + m) P _ {\ ell -1} ^ {m} (x) - \ ell (\ ell -m + 1) P _ {\ ell +1} ^ { m} (x) \ right]}$

${\ displaystyle (x ^ {2} -1) {\ frac {d} {dx}} {P _ {\ ell} ^ {m}} (x) = {\ ell} xP _ {\ ell} ^ {m} (х) - (\ ell + m) P _ {\ ell -1} ^ {m} (x)}$

${\ displaystyle (x ^ {2} -1) {\ frac {d} {dx}} {P _ {\ ell} ^ {m}} (x) = - (\ ell +1) xP _ {\ ell} ^ {m} (x) + (\ ell -m + 1) P _ {\ ell +1} ^ {m} (x)}$

${\ displaystyle (x ^ {2} -1) {\ frac {d} {dx}} {P _ {\ ell} ^ {m}} (x) = {\ sqrt {1-x ^ {2}}} P _ {\ ell} ^ {m + 1} (x) + mxP _ {\ ell} ^ {m} (x)}$

${\ displaystyle (x ^ {2} -1) {\ frac {d} {dx}} {P _ {\ ell} ^ {m}} (x) = - (\ ell + m) (\ ell -m + 1) {\ sqrt {1-x ^ {2}}} P _ {\ ell} ^ {m-1} (x) -mxP _ {\ ell} ^ {m} (x)}$

Полезные идентификаторы (начальные значения для первой рекурсии):

${\ displaystyle P _ {\ ell +1} ^ {\ ell +1} (x) = - (2 \ ell +1) {\ sqrt {1-x ^ {2}}} P _ {\ ell} ^ {\ ell} (x)}$

${\ Displaystyle P _ {\ ell} ^ {\ ell} (x) = (- 1) ^ {\ ell} (2 \ ell -1) !! (1-x ^ {2}) ^ {(\ ell / 2)}}$

${\ Displaystyle P _ {\ ell +1} ^ {\ ell} (x) = x (2 \ ell +1) P _ {\ ell} ^ {\ ell} (x)}$

с участием !! двойной факториал .

Формула Гаунта

Интеграл по произведению трех ассоциированных полиномов Лежандра (с порядком согласования, как показано ниже) является необходимым ингредиентом при преобразовании произведений полиномов Лежандра в ряд, линейный по полиномам Лежандра. Например, это оказывается необходимым при атомных вычислениях многообразия Хартри – Фока, где требуются матричные элементы кулоновского оператора . Для этого у нас есть формула Гаунта

${\ displaystyle {\ frac {1} {2}} \ int _ {- 1} ^ {1} P_ {l} ^ {u} (x) P_ {m} ^ {v} (x) P_ {n} ^ {w} (x) dx =}$	${\ displaystyle (-1) ^ {smw} {\ frac {(m + v)! (n + w)! (2s-2n)! s!} {(mv)! (sl)! (sm)! ( sn)! (2s + 1)!}}}$
	${\ displaystyle \ times \ \ sum _ {t = p} ^ {q} (- 1) ^ {t} {\ frac {(l + u + t)! (m + гайка)!} {t! (lut )! (m-n + u + t)! (nwt)!}}}$

Эта формула должна использоваться при следующих предположениях:

1. степени - неотрицательные целые числа ${\ displaystyle l, m, n \ geq 0}$
2. все три порядка - неотрицательные целые числа ${\ displaystyle u, v, w \ geq 0}$
3. ${\ displaystyle u}$ самый крупный из трех заказов
4. заказы суммируются ${\ displaystyle u = v + w}$
5. степени подчиняются ${\ Displaystyle м \ geq п}$

Другие величины, фигурирующие в формуле, определяются как

${\ Displaystyle \ 2s = l + m + n}$

${\ displaystyle \ p = \ max (0, \, nmu)}$

${\ Displaystyle \ д = \ мин (м + ню, \, лю, \, нв)}$

Интеграл равен нулю, если только

1. сумма степеней четна, это целое число${\ displaystyle s}$
2. треугольное условие выполнено ${\ Displaystyle м + п \ geq l \ geq mn}$

Донг и Лемус (2002) обобщили вывод этой формулы на интегралы по произведению произвольного числа связанных полиномов Лежандра.

Обобщение через гипергеометрические функции

Эти функции могут быть фактически определены для общих сложных параметров и аргументов:

${\ displaystyle P _ {\ lambda} ^ {\ mu} (z) = {\ frac {1} {\ Gamma (1- \ mu)}} \ left [{\ frac {1 + z} {1-z} } \ right] ^ {\ mu / 2} \, _ {2} F_ {1} (- \ lambda, \ lambda +1; 1- \ mu; {\ frac {1-z} {2}})}$

где это гамма - функция и является гипергеометрической функцией${\ displaystyle \ Gamma}$${\ displaystyle _ {2} F_ {1}}$

${\ Displaystyle \, _ {2} F_ {1} (\ альфа, \ бета; \ gamma; z) = {\ frac {\ Gamma (\ gamma)} {\ Gamma (\ alpha) \ Gamma (\ beta) }} \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} {\ frac {\ Gamma (n + \ alpha) \ Gamma (n + \ beta)} {\ Gamma (n + \ gamma) \ n!}} z ^ { n},}$

При таком более общем определении они называются функциями Лежандра . Они удовлетворяют тому же дифференциальному уравнению, что и раньше:

${\ displaystyle (1-z ^ {2}) \, y '' - 2zy '+ \ left (\ lambda [\ lambda +1] - {\ frac {\ mu ^ {2}} {1-z ^ { 2}}} \ right) \, y = 0. \,}$

Поскольку это дифференциальное уравнение второго порядка, оно имеет второе решение , определяемое как: ${\ Displaystyle Q _ {\ lambda} ^ {\ mu} (г)}$

${\ Displaystyle Q _ {\ lambda} ^ {\ mu} (z) = {\ frac {{\ sqrt {\ pi}} \ \ Gamma (\ lambda + \ mu +1)} {2 ^ {\ lambda +1 } \ Gamma (\ lambda +3/2)}} {\ frac {1} {z ^ {\ lambda + \ mu +1}}} (1-z ^ {2}) ^ {\ mu / 2} \ , _ {2} F_ {1} \ left ({\ frac {\ lambda + \ mu +1} {2}}, {\ frac {\ lambda + \ mu +2} {2}}; \ lambda + { \ frac {3} {2}}; {\ frac {1} {z ^ {2}}} \ right)}$

${\ Displaystyle P _ {\ lambda} ^ {\ mu} (г)}$и оба подчиняются различным формулам повторения, приведенным ранее. ${\ Displaystyle Q _ {\ lambda} ^ {\ mu} (г)}$

Репараметризация по углам

Эти функции наиболее полезны, когда аргумент повторно параметризован с точки зрения углов, позволяя : ${\ Displaystyle х = \ соз \ тета}$

${\ displaystyle P _ {\ ell} ^ {m} (\ cos \ theta) = (- 1) ^ {m} (\ sin \ theta) ^ {m} \ {\ frac {d ^ {m}} {d (\ cos \ theta) ^ {m}}} \ left (P _ {\ ell} (\ cos \ theta) \ right) \,}$

Используя соотношение , приведенный выше список дает первые несколько полиномов, параметризованных таким образом, как: ${\ Displaystyle (1-х ^ {2}) ^ {1/2} = \ грех \ тета}$

${\ Displaystyle {\ begin {align} P_ {0} ^ {0} (\ cos \ theta) & = 1 \\ [8pt] P_ {1} ^ {0} (\ cos \ theta) & = \ cos \ theta \\ [8pt] P_ {1} ^ {1} (\ cos \ theta) & = - \ sin \ theta \\ [8pt] P_ {2} ^ {0} (\ cos \ theta) & = {\ tfrac {1} {2}} (3 \ cos ^ {2} \ theta -1) \\ [8pt] P_ {2} ^ {1} (\ cos \ theta) & = - 3 \ cos \ theta \ sin \ theta \\ [8pt] P_ {2} ^ {2} (\ cos \ theta) & = 3 \ sin ^ {2} \ theta \\ [8pt] P_ {3} ^ {0} (\ cos \ theta ) & = {\ tfrac {1} {2}} (5 \ cos ^ {3} \ theta -3 \ cos \ theta) \\ [8pt] P_ {3} ^ {1} (\ cos \ theta) & = - {\ tfrac {3} {2}} (5 \ cos ^ {2} \ theta -1) \ sin \ theta \\ [8pt] P_ {3} ^ {2} (\ cos \ theta) & = 15 \ cos \ theta \ sin ^ {2} \ theta \\ [8pt] P_ {3} ^ {3} (\ cos \ theta) & = - 15 \ sin ^ {3} \ theta \\ [8pt] P_ {4} ^ {0} (\ cos \ theta) & = {\ tfrac {1} {8}} (35 \ cos ^ {4} \ theta -30 \ cos ^ {2} \ theta +3) \\ [8pt] P_ {4} ^ {1} (\ cos \ theta) & = - {\ tfrac {5} {2}} (7 \ cos ^ {3} \ theta -3 \ cos \ theta) \ sin \ theta \\ [8pt] P_ {4} ^ {2} (\ cos \ theta) & = {\ tfrac {15} {2}} (7 \ cos ^ {2} \ theta -1) \ sin ^ {2 } \ theta \\ [8pt] P_ {4} ^ {3} (\ cos \ theta) & = - 105 \ cos \ theta \ sin ^ {3} \ theta \\ [8pt] P_ {4} ^ {4 } (\ соз \ тета) & = 105 \ грех ^ {4} \ тета \ конец {выровнено}}}$

Ортогональности соотношения , приведенные выше , становятся в этой формулировке: при фиксированном т , ортогональны, параметризовано & thetas над , с весом : ${\ Displaystyle P _ {\ ell} ^ {m} (\ соз \ theta)}$${\ displaystyle [0, \ pi]}$${\ Displaystyle \ грех \ тета}$

${\ displaystyle \ int _ {0} ^ {\ pi} P_ {k} ^ {m} (\ cos \ theta) P _ {\ ell} ^ {m} (\ cos \ theta) \, \ sin \ theta \ , d \ theta = {\ frac {2 (\ ell + m)!} {(2 \ ell +1) (\ ell -m)!}} \ \ delta _ {k, \ ell}}$

Также для фиксированного ℓ :

${\ displaystyle \ int _ {0} ^ {\ pi} P _ {\ ell} ^ {m} (\ cos \ theta) P _ {\ ell} ^ {n} (\ cos \ theta) \ csc \ theta \, d \ theta = {\ begin {cases} 0 & {\ text {if}} m \ neq n \\ {\ frac {(\ ell + m)!} {m (\ ell -m)!}} & {\ текст {if}} m = n \ neq 0 \\\ infty & {\ text {if}} m = n = 0 \ end {case}}}$

В терминах θ являются решениями ${\ Displaystyle P _ {\ ell} ^ {m} (\ соз \ theta)}$

${\ displaystyle {\ frac {d ^ {2} y} {d \ theta ^ {2}}} + \ cot \ theta {\ frac {dy} {d \ theta}} + \ left [\ lambda - {\ frac {m ^ {2}} {\ sin ^ {2} \ theta}} \ right] \, y = 0 \,}$

Точнее, если задано целое число m 0, указанное выше уравнение имеет неособые решения только тогда, когда для ℓ целое число ≥  m , и эти решения пропорциональны . ${\ displaystyle \ geq}$${\ Displaystyle \ лямбда = \ ell (\ ell +1) \,}$${\ Displaystyle P _ {\ ell} ^ {m} (\ соз \ theta)}$

Приложения в физике: сферические гармоники

Во многих случаях в физике связанные полиномы Лежандра в терминах углов встречаются там, где задействована сферическая симметрия . Угол широты в сферических координатах - это угол, использованный выше. Угол долготы , появляется в множительном множителе. Вместе они составляют набор функций, называемых сферическими гармониками . Эти функции выражают симметрию двумерной сферы под действием группы Ли SO (3). ${\ displaystyle \ theta}$${\ displaystyle \ phi}$

Что делает эти функции полезными, так это то, что они играют центральную роль в решении уравнения на поверхности сферы. В сферических координатах θ (широта) и φ (долгота) лапласиан равен ${\ displaystyle \ nabla ^ {2} \ psi + \ lambda \ psi = 0}$

${\ displaystyle \ nabla ^ {2} \ psi = {\ frac {\ partial ^ {2} \ psi} {\ partial \ theta ^ {2}}} + \ cot \ theta {\ frac {\ partial \ psi} {\ partial \ theta}} + \ csc ^ {2} \ theta {\ frac {\ partial ^ {2} \ psi} {\ partial \ phi ^ {2}}}.}$

Когда уравнение в частных производных

${\ displaystyle {\ frac {\ partial ^ {2} \ psi} {\ partial \ theta ^ {2}}} + \ cot \ theta {\ frac {\ partial \ psi} {\ partial \ theta}} + \ csc ^ {2} \ theta {\ frac {\ partial ^ {2} \ psi} {\ partial \ phi ^ {2}}} + \ lambda \ psi = 0}$

решается методом разделения переменных , получается часть, зависящая от φ или для целого числа m≥0, и уравнение для части, зависящей от θ ${\ Displaystyle \ грех (м \ фи)}$${\ Displaystyle \ соз (м \ фи)}$

${\ displaystyle {\ frac {d ^ {2} y} {d \ theta ^ {2}}} + \ cot \ theta {\ frac {dy} {d \ theta}} + \ left [\ lambda - {\ frac {m ^ {2}} {\ sin ^ {2} \ theta}} \ right] \, y = 0 \,}$

для которых решения есть с и . ${\ Displaystyle P _ {\ ell} ^ {m} (\ соз \ theta)}$${\ displaystyle \ ell {\ geq} м}$${\ displaystyle \ lambda = \ ell (\ ell +1)}$

Следовательно, уравнение

${\ displaystyle \ nabla ^ {2} \ psi + \ lambda \ psi = 0}$

имеет невырожденные разделенные решения только тогда , когда , и эти решения пропорциональны ${\ displaystyle \ lambda = \ ell (\ ell +1)}$

${\ Displaystyle П _ {\ ell} ^ {м} (\ соз \ тета) \ \ соз (м \ фи) \ \ \ \ 0 \ Leq м \ Leq \ ell}$

а также

${\ displaystyle P _ {\ ell} ^ {m} (\ cos \ theta) \ \ sin (m \ phi) \ \ \ \ 0 <m \ leq \ ell.}$

Для каждого выбора ℓ существует 2ℓ + 1 функция для различных значений m и выбора синуса и косинуса. Все они ортогональны как в л и м при интегрировании по поверхности сферы.

Решения обычно записываются в виде комплексных экспонент :

${\ Displaystyle Y _ {\ ell, m} (\ theta, \ phi) = {\ sqrt {\ frac {(2 \ ell +1) (\ ell -m)!} {4 \ pi (\ ell + m) !}}} \ P _ {\ ell} ^ {m} (\ cos \ theta) \ e ^ {im \ phi} \ qquad - \ ell \ leq m \ leq \ ell.}$

Функции - это сферические гармоники , а величина в квадратном корне - нормализующий коэффициент. Вспоминая связь между ассоциированными функциями Лежандра положительного и отрицательного m , легко показать, что сферические гармоники удовлетворяют тождеству ${\ Displaystyle Y _ {\ ell, m} (\ theta, \ phi)}$

${\ displaystyle Y _ {\ ell, m} ^ {*} (\ theta, \ phi) = (- 1) ^ {m} Y _ {\ ell, -m} (\ theta, \ phi).}$

Сферические гармонические функции образуют полный ортонормированный набор функций в смысле ряда Фурье . Специалисты в области геодезии, геомагнетизма и спектрального анализа используют другую фазу и коэффициент нормализации, чем указано здесь (см. Сферические гармоники ).

Когда трехмерное сферически-симметричное уравнение в частных производных решается методом разделения переменных в сферических координатах, часть, которая остается после удаления радиальной части, обычно имеет вид

${\ displaystyle \ nabla ^ {2} \ psi (\ theta, \ phi) + \ lambda \ psi (\ theta, \ phi) = 0,}$

следовательно, решения представляют собой сферические гармоники.

Обобщения

Многочлены Лежандра тесно связаны с гипергеометрическими рядами . В виде сферических гармоник они выражают симметрию двусферы под действием группы Ли SO (3). Существует много других групп Ли помимо SO (3), и существует аналогичное обобщение полиномов Лежандра для выражения симметрий полупростых групп Ли и римановых симметрических пространств . Грубо говоря, можно определить лапласиан на симметрических пространствах; собственные функции лапласиана можно рассматривать как обобщения сферических гармоник на другие параметры.

Смотрите также

• Угловой момент
• Квадратура Гаусса
• Полиномы Лежандра
• Сферические гармоники
• Преобразование Уиппла функций Лежандра
• Многочлены Лагерра
• Полиномы Эрмита

Примечания и ссылки

• Арфкен, Великобритания; Вебер, HJ (2001), Математические методы для физиков , Academic Press, ISBN 978-0-12-059825-0; Раздел 12.5. (Использует другое соглашение о знаках.)
• Белоусов, SL (1962), Таблицы нормализованных ассоциированных многочленов Лежандра , Математические таблицы, 18 , Pergamon Press.
• Кондон, ЕС; Шортли, Г. Х. (1970), Теория атомных спектров , Кембридж, Англия: Cambridge University Press, OCLC  5388084; Глава 3.
• Курант, Ричард ; Гильберт, Дэвид (1953), Методы математической физики, Том 1 , Нью-Йорк: Interscience Publischer, Inc..
• Данстер, TM (2010), «Лежандр и родственные функции» , в Olver, Frank WJ ; Lozier, Daniel M .; Бойсверт, Рональд Ф .; Кларк, Чарльз В. (ред.), Справочник по математическим функциям NIST , Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-19225-5, MR  2723248
• Эдмондс, АР (1957), Угловой момент в квантовой механике , Princeton University Press, ISBN 978-0-691-07912-7; Глава 2.
• Хильдебранд, Ф. Б. (1976), Advanced Calculus for Applications , Prentice Hall, ISBN 978-0-13-011189-0.
• Koornwinder, Tom H .; Wong, Roderick SC; Коэкоек, Рулоф; Свартту, Рене Ф. (2010), «Ортогональные многочлены» , в Olver, Frank WJ ; Lozier, Daniel M .; Бойсверт, Рональд Ф .; Кларк, Чарльз В. (ред.), Справочник по математическим функциям NIST , Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-19225-5, MR  2723248
• Шах, С.Р. (1973) Новые тождества для связанных с Лежандром функций интегрального порядка и степени , Журнал Общества промышленной и прикладной математики по математическому анализу, 1976, Vol. 7, No. 1: pp. 59–69

Внешние ссылки

• Связанные полиномы Лежандра в MathWorld
• Многочлены Лежандра в MathWorld
• Функции Лежандра и связанные с ним функции в DLMF