Свойство аппроксимации - Approximation property

Построение банахового пространства без свойства аппроксимации принесло Перу Энфло живого гуся в 1972 году, что было обещано Станиславом Мазуром (слева) в 1936 году.

В математике , в частности в функциональном анализе , говорят , что банахово пространство обладает свойством аппроксимации (AP) , если каждый компактный оператор является пределом операторов конечного ранга . Обратное всегда верно.

Этим свойством обладает каждое гильбертово пространство . Однако есть банаховы пространства, которых нет; Пер Энфло опубликовал первый контрпример в статье 1973 года. Однако большая работа в этой области была проделана Гротендиком (1955).

Позже было найдено много других контрпримеров. Пространство ограниченных операторов на не обладает свойством аппроксимации ( Шанковский ). Пространства для и (см. Пространство последовательностей ) имеют замкнутые подпространства, не обладающие свойством аппроксимации. ${\ displaystyle \ ell ^ {2}}$${\ displaystyle \ ell ^ {p}}$${\ displaystyle p \ neq 2}$${\ displaystyle c_ {0}}$

Определение

Локально выпуклое топологическое векторное пространство X называется имеет свойство аппроксимации , если тождественное отображение может быть аппроксимирована равномерно на предкомпактных множеств , на непрерывных линейных отображений конечного ранга.

Для локально выпуклого пространства X следующие утверждения эквивалентны:

1. X обладает свойством аппроксимации;
2. закрытие in содержит карту идентичности ;${\ displaystyle X ^ {\ prime} \ otimes X}$${\ displaystyle \ operatorname {L} _ {p} (X, X)}$${\ displaystyle \ operatorname {Id}: от X \ до X}$
3. ${\ displaystyle X ^ {\ prime} \ otimes X}$плотно внутри ;${\ displaystyle \ operatorname {L} _ {p} (X, X)}$
4. для всякого локально выпуклого пространства Y , плотно в ;${\ displaystyle X ^ {\ prime} \ otimes Y}$${\ displaystyle \ operatorname {L} _ {p} (X, Y)}$
5. для всякого локально выпуклого пространства Y , плотно в ;${\ displaystyle Y ^ {\ prime} \ otimes X}$${\ displaystyle \ operatorname {L} _ {p} (Y, X)}$

где обозначает пространство непрерывных линейных операторов из X в Y , наделенное топологией равномерной сходимости на предварительно компактных подмножеств X . ${\ displaystyle \ operatorname {L} _ {p} (X, Y)}$

Если X - банахово пространство, это требование становится таким, что для каждого компакта и каждого существует оператор конечного ранга, так что для каждого . ${\ Displaystyle K \ подмножество X}$${\ displaystyle \ varepsilon> 0}$ ${\ displaystyle T \ двоеточие X \ to X}$${\ Displaystyle \ | Tx-x \ | \ leq \ varepsilon}$${\ displaystyle x \ in K}$

Связанные определения

Изучаются некоторые другие вкусы AP:

Позвольте быть банаховым пространством и пусть . Мы говорим, что X обладает свойством -апроксимации ( -AP ), если для каждого компакта и каждого существует оператор конечного ранга, так что для каждого и . ${\ displaystyle X}$${\ Displaystyle 1 \ Leq \ лямбда <\ infty}$${\ displaystyle \ lambda}$${\ displaystyle \ lambda}$${\ Displaystyle K \ подмножество X}$${\ displaystyle \ varepsilon> 0}$ ${\ displaystyle T \ двоеточие X \ to X}$${\ Displaystyle \ | Tx-x \ | \ leq \ varepsilon}$${\ displaystyle x \ in K}$${\ Displaystyle \ | Т \ | \ leq \ lambda}$

Говорят, что банахово пространство обладает свойством ограниченной аппроксимации ( BAP ), если оно имеет -AP для некоторых . ${\ displaystyle \ lambda}$${\ displaystyle \ lambda}$

Говорят, что банахово пространство обладает свойством метрической аппроксимации ( MAP ), если оно 1-AP.

Говорят, что банахово пространство обладает свойством компактной аппроксимации ( CAP ), если в определении AP оператор конечного ранга заменяется компактным оператором.

Примеры

• Каждое подпространство произвольного произведения гильбертовых пространств обладает свойством аппроксимации. В частности,
  • каждое гильбертово пространство обладает свойством аппроксимации.
  • каждый проективный предел гильбертовых пространств, как и любое подпространство такого проективного предела, обладает свойством аппроксимации.
  • каждое ядерное пространство обладает свойством аппроксимации.
• Каждое отделимое пространство Фреше, содержащее базис Шаудера, обладает свойством аппроксимации.
• Каждое пространство с базисом Шаудера имеет AP (мы можем использовать проекции, связанные с базой, как точки в определении), таким образом, можно найти много пространств с AP. Например, пространства или симметричное пространство Цирельсона .${\ displaystyle T}$${\ displaystyle \ ell ^ {p}}$

Рекомендации

Библиография

• Бартл, Р.Г. (1977). "MR0402468 (53 # 6288) (Обзор работы Пера Энфло" Контрпример к проблеме аппроксимации в банаховых пространствах " Acta Mathematica 130 (1973), 309–317)». Математические обзоры . Руководство по ремонту  0402468 .
• Энфло, П .: Контрпример к свойству аппроксимации в банаховых пространствах. Acta Math. 130, 309–317 (1973).
• Гротендик, А .: Производит тензорные топологические и космические ядра . Памятка. Амер. Математика. Soc. 16 (1955).
• Халмос, Пол Р. (1978). «Базы Шаудера». Американский математический ежемесячник . 85 (4): 256–257. DOI : 10.2307 / 2321165 . JSTOR  2321165 . Руководство по ремонту  0488901 .
• Пол Р. Халмос , "Прогресс в математике замедлился?" Амер. Математика. Ежемесячно 97 (1990), нет. 7, 561–588. MR 1066321
• Уильям Б. Джонсон «Дополняемо универсальные сепарабельные банаховы пространства» в Роберте Г. Бартле (ред.), 1980 Исследования по функциональному анализу , Математическая ассоциация Америки.
• Квапень, С. "На примере Энфло банахова пространства без свойства аппроксимации". Séminaire Goulaouic – Schwartz 1972–1973: Équations aux dérivées partielles et analysis fonctionnelle, Exp. № 8, 9 стр. Centre de Math., École Polytech., Paris, 1973. MR 407569
• Lindenstrauss, J .; Цафрири, Л .: Классические банаховы пространства I, Пространства последовательностей, 1977.
• Недевский, П .; Троянский, С. (1973). «П. Энфло решил отрицательную проблему Банаха о существовании базиса для всякого сепарабельного банахова пространства». Физ.-мат. Spis. Булгар. Акад. Наук . 16 (49): 134–138. Руководство по ремонту  0458132 .
• Пич, Альбрехт (2007). История банаховых пространств и линейных операторов . Бостон, Массачусетс: Birkhäuser Boston, Inc., стр. Xxiv + 855 стр. ISBN 978-0-8176-4367-6. Руководство по ремонту  2300779 .
• Карен Сакс , Начало функционального анализа , Тексты для бакалавров по математике , 2002 г., Springer-Verlag, Нью-Йорк.
• Schaefer, Helmuth H .; Вольф, депутат (1999). Топологические векторные пространства . GTM . 3 . Нью-Йорк: Springer-Verlag . ISBN 9780387987262.
• Певец Иван. Базы в банаховых пространствах. II . Editura Academiei Republicii Socialiste România, Бухарест; Springer-Verlag, Берлин-Нью-Йорк, 1981. viii + 880 с.  ISBN  3-540-10394-5 . Руководство по ремонту 610799