Алгебраическая дробь - Algebraic fraction

В алгебре , алгебраическая дробь является дробь , числитель и знаменатель алгебраические выражения . Двумя примерами алгебраических дробей являются и . Алгебраические дроби подчиняются тем же законам, что и арифметические дроби . ${\ displaystyle {\ frac {3x} {x ^ {2} + 2x-3}}}$${\ displaystyle {\ frac {\ sqrt {x + 2}} {x ^ {2} -3}}}$

Рациональную дробь является алгебраическим дробь, числитель и знаменатель являются полиномами . Таким образом , является рациональной дробью, но не потому , что числитель содержит функцию квадратного корня. ${\ displaystyle {\ frac {3x} {x ^ {2} + 2x-3}}}$${\ displaystyle {\ frac {\ sqrt {x + 2}} {x ^ {2} -3}},}$

Терминология

В алгебраической дроби делимое a называется числителем, а делитель b - знаменателем . Числитель и знаменатель называются членами алгебраической дроби. ${\ displaystyle {\ tfrac {a} {b}}}$

Комплекс фракция представляет собой дробь, числитель или знаменатель, или оба, содержит фракцию. Простая дробь не содержит фракции либо в его числителе или знаменателе. Дробь имеет наименьшее значение, если единственный общий множитель числителя и знаменателя равен 1.

Выражение, не являющееся дробным, является целым выражением . Целочисленное выражение всегда можно записать в дробной форме, задав ему знаменатель 1. Смешанное выражение - это алгебраическая сумма одного или нескольких интегральных выражений и одного или нескольких дробных членов.

Рациональные дроби

Если выражения a и b являются полиномами , алгебраическая дробь называется рациональной алгебраической дробью или просто рациональной дробью . Рациональные дроби также известны как рациональные выражения. Рациональная дробь называется правильной, если и неправильной в противном случае. Например, рациональная дробь правильная, а рациональная дробь и неправильная. Любая несобственная рациональная дробь может быть выражена как сумма многочлена (возможно, постоянного) и правильной рациональной дроби. В первом примере неправильной дроби ${\ Displaystyle {\ tfrac {е (х)} {г (х)}}}$${\ Displaystyle \ deg f (x) <\ deg g (x)}$${\ displaystyle {\ tfrac {2x} {x ^ {2} -1}}}$${\ displaystyle {\ tfrac {x ^ {3} + x ^ {2} +1} {x ^ {2} -5x + 6}}}$${\ displaystyle {\ tfrac {x ^ {2} -x + 1} {5x ^ {2} +3}}}$

${\ displaystyle {\ frac {x ^ {3} + x ^ {2} +1} {x ^ {2} -5x + 6}} = (x + 6) + {\ frac {24x-35} {x ^ {2} -5x + 6}},}$

где второй член - правильная рациональная дробь. Сумма двух правильных рациональных дробей также является правильной рациональной дробью. Обратный процесс выражения правильной рациональной дроби как суммы двух или более дробей называется разделением ее на частичные дроби . Например,

${\ displaystyle {\ frac {2x} {x ^ {2} -1}} = {\ frac {1} {x-1}} + {\ frac {1} {x + 1}}.}$

Здесь два члена справа называются частичными дробями.

Иррациональные дроби

Иррациональная фракция является тот , который содержит переменный под дробным показателем степени. Пример иррациональной дроби:

${\ displaystyle {\ frac {x ^ {1/2} - {\ tfrac {1} {3}} a} {x ^ {1/3} -x ^ {1/2}}}.}$

Процесс преобразования иррациональной дроби в рациональную дробь известен как рационализация . Каждую иррациональную дробь, в которой радикалы являются одночленами, можно рационализировать, найдя наименьшее общее кратное индексов корней и заменив переменную другой переменной с наименьшим общим кратным в качестве показателя степени. В приведенном примере наименьшее общее кратное - 6, поэтому мы можем заменить, чтобы получить ${\ Displaystyle х = г ^ {6}}$

${\ displaystyle {\ frac {z ^ {3} - {\ tfrac {1} {3}} a} {z ^ {2} -z ^ {3}}}.}$

использованная литература

• Бринк, Раймонд В. (1951). «IV. Дроби» . Колледж алгебры .