Парадокс Кондорсе - Condorcet paradox

Парадокс Кондорсе (также известный как парадокс голосования или парадокс голосования ) в теории общественного выбора является ситуация , отмечает маркиза де Кондорсе в конце 18 -го века, в котором коллективные предпочтения могут быть циклическими, даже если предпочтения отдельных избирателей не цикличны. Это парадоксально , потому что это означает, что желания большинства могут противоречить друг другу: большинство предпочитает, например, кандидата A, а не B, B, а не C, и все же C, а не A. каждая состоит из разных групп людей.

Таким образом, ожидание того, что транзитивность со стороны предпочтений всех индивидов должна приводить к транзитивности социальных предпочтений, является примером ошибки композиции .

Парадокс был независимо открыт Льюисом Кэрроллом и Эдвардом Дж. Нансоном , но его значение не было признано до тех пор, пока его не популяризировал Дункан Блэк в 1940-х годах.

Пример

Избиратели (синий) и кандидаты (красный) нанесены на двумерное пространство предпочтений. Каждый избиратель предпочитает более близкого кандидата более дальнему. Стрелки показывают порядок, в котором избиратели отдают предпочтение кандидатам.

Предположим, у нас есть три кандидата, A, B и C, и что есть три избирателя со следующими предпочтениями (кандидаты перечислены слева направо для каждого избирателя в порядке убывания предпочтений):

Если C выбран победителем, можно утверждать, что вместо этого B должен победить, поскольку два избирателя (1 и 2) предпочитают B, а не C, и только один избиратель (3) предпочитает C вместо B. предпочтительнее B, и C предпочтительнее A, с разницей в два к одному в каждом случае. Таким образом, предпочтения общества демонстрируют цикличность: A предпочтительнее, чем B, который предпочтительнее, чем C, который предпочтительнее A. Парадоксальная особенность отношений между предпочтениями избирателей, описанная выше, заключается в том, что, хотя большинство избирателей согласны с тем, что A предпочтительнее B, От B к C и от C к A, все три коэффициента ранговой корреляции между предпочтениями любых двух избирателей отрицательны (а именно, –5), как было вычислено с помощью формулы коэффициента ранговой корреляции Спирмена, разработанной Чарльзом Спирменом намного позже.

Кардинальные рейтинги

Обратите внимание, что при голосовании по счету сила избирателя снижается в некоторых парных матчах по сравнению с Кондорсе. Это гарантирует, что циклическое социальное предпочтение никогда не произойдет.

Обратите внимание, что в графическом примере избиратели и кандидаты не симметричны, но система ранжированного голосования «сглаживает» их предпочтения в симметричный цикл. Кардинальные системы голосования предоставляют больше информации, чем рейтинги, позволяя определить победителя. Например, при балльном голосовании бюллетени могут быть:

Кандидат A получает наибольшее количество очков и становится победителем, поскольку A является ближайшим ко всем избирателям. Тем не менее, у большинства избирателей есть стимул дать А 0 и С 10, что позволяет С победить А, что они предпочитают, и в этот момент у большинства будет стимул дать С 0 и В 10, чтобы побудить B и т. д. (Однако в этом конкретном примере стимул слаб, поскольку те, кто предпочитает C вместо A, получают только C на 1 балл выше A; в ранжированном методе Кондорсе вполне возможно, что они просто одинаково оценили бы A и C из-за того, насколько слабы их предпочтения, и в этом случае цикл Кондорсе изначально не сформировался бы, и A был бы победителем Кондорсе). Таким образом, хотя цикл не возникает ни в одном заданном наборе голосов, он может проявляться в повторных выборах со стратегическими избирателями с кардинальными рейтингами.

Необходимое условие парадокса

Предположим, что x - это доля избирателей, которые предпочитают A, а не B, а y - это доля избирателей, которые предпочитают B, а не C. Было показано, что доля z избирателей, которые предпочитают A, а не C, всегда не меньше ( x + y  - 1). Поскольку парадокс (большинство предпочитает C перед A) требует z  <1/2, необходимым условием парадокса является то, что

${\ displaystyle x + y-1 \ leq z <{\ frac {1} {2}} \ quad {\ text {и, следовательно,}} \ quad x + y <{\ frac {3} {2}}.}$

Вероятность парадокса

Вероятность парадокса можно оценить путем экстраполяции реальных данных о выборах или использования математических моделей поведения избирателей, хотя результаты сильно зависят от того, какая модель используется. В частности, Андраник Тангян доказал, что вероятность парадокса Кондорсе ничтожна в большом обществе.

Модель беспристрастной культуры

Мы можем рассчитать вероятность увидеть парадокс для частного случая, когда предпочтения избирателей равномерно распределены между кандидатами. (Это модель « беспристрастной культуры », которая, как известно, нереалистична, поэтому на практике парадокс Кондорсе может быть более или менее вероятным, чем этот расчет.)

Для избирателей , обеспечивающих список предпочтений из трех кандидатов А, В, С, мы будем писать (соотв. , ) Случайная величина , равная числу избирателей , которые разместили в передней части В (соответственно В в передней части С, С перед А). Искомая вероятность равна (мы удваиваем, потому что существует также симметричный случай A> C> B> A). Мы покажем, что для нечетного , где требуется знать только совместное распределение и . ${\ displaystyle n}$${\ displaystyle X_ {n}}$${\ displaystyle Y_ {n}}$${\ displaystyle Z_ {n}}$${\ displaystyle p_ {n} = 2P (X_ {n}> n / 2, Y_ {n}> n / 2, Z_ {n}> n / 2)}$${\ displaystyle n}$${\ displaystyle p_ {n} = 3q_ {n} -1/2}$${\ displaystyle q_ {n} = P (X_ {n}> n / 2, Y_ {n}> n / 2)}$${\ displaystyle X_ {n}}$${\ displaystyle Y_ {n}}$

Если мы покажем , отношение , которое делает возможным вычислить это распределение повторения: . ${\ displaystyle p_ {n, i, j} = P (X_ {n} = i, Y_ {n} = j)}$${\ displaystyle p_ {n + 1, i, j} = {1 \ over 6} p_ {n, i, j} + {1 \ over 3} p_ {n, i-1, j} + {1 \ over 3} p_ {n, i, j-1} + {1 \ over 6} p_ {n, i-1, j-1}}$

Тогда получаются следующие результаты:

${\ displaystyle n}$	3	101	201	301	401	501	601
${\ displaystyle p_ {n}}$	5,556%	8,690%	8,732%	8,746%	8,753%	8,757%	8,760%

Последовательность, кажется, стремится к конечному пределу.

С помощью центральной предельной теоремы , мы покажем , что , как правило, где переменная после распределения Коши , что дает (постоянная цитируются в OEIS ). ${\ displaystyle q_ {n}}$${\ displaystyle q = {1 \ over 4} P (| T |> {{\ sqrt {2}} \ over 4})}$${\ displaystyle T}$${\ displaystyle q = {\ dfrac {1} {2 \ pi}} \ int _ {{\ sqrt {2}} / 4} ^ {+ \ infty} {\ frac {dt} {1 + t ^ {2 }}} = {\ dfrac {\ arctan 2 {\ sqrt {2}}} {2 \ pi}} = {\ dfrac {\ arccos {\ frac {1} {3}}} {2 \ pi}}}$

Таким образом, асимптотическая вероятность столкнуться с парадоксом Кондорсе составляет 8,77%. ${\ displaystyle {{3 \ arccos {1 \ over 3}} \ over {2 \ pi}} - {1 \ over 2} = {\ arcsin {{\ sqrt {6}} \ over 9} \ over \ pi }}$

Рассчитаны некоторые результаты для случая более трех объектов.

Модели групповой согласованности

При моделировании с более реалистичными предпочтениями избирателей парадоксы Кондорсе на выборах с небольшим количеством кандидатов и большим количеством избирателей становятся очень редкими.

Эмпирические исследования

Было предпринято множество попыток найти эмпирические примеры парадокса.

Обобщение 37 отдельных исследований, охватывающих в общей сложности 265 реальных выборов, больших и малых, выявило 25 случаев парадокса Кондорсе с общей вероятностью 9,4% (и это может быть высокой оценкой, поскольку случаи парадокса о которых сообщают с большей вероятностью, чем о случаях без). С другой стороны, эмпирическая идентификация парадокса Кондорсе предполагает обширные данные о предпочтениях лиц, принимающих решения, по сравнению со всеми альтернативами - что очень редко доступно.

Хотя примеры парадокса, кажется, иногда возникают в небольших учреждениях (например, парламентах), очень мало примеров было обнаружено в более крупных группах (например, электорате), хотя некоторые из них были идентифицированы.

Подразумеваемое

Когда для определения выборов используется метод Кондорсе , парадокс голосования циклических социальных предпочтений подразумевает, что на выборах нет победителя Кондорсе : нет кандидата, который может выиграть выборы один на один против другого кандидата. Тем не менее, группа кандидатов по-прежнему будет наименьшей, так что каждый кандидат в группе может выиграть выборы один на один против другого кандидата, что известно как набор Смита . Несколько вариантов метода Кондорсе отличаются тем, как они разрешают такие неоднозначности, когда они возникают, чтобы определить победителя. Методы Кондорсе, которые всегда выбирают кого-то из набора Смита, когда нет победителя Кондорсе, известны как эффективные по Смиту . Обратите внимание, что использование только рейтингов не дает справедливого и детерминированного решения тривиального примера, приведенного ранее, потому что каждый кандидат находится в строго симметричной ситуации.

Ситуации, в которых присутствует парадокс голосования, могут привести к тому, что механизмы голосования нарушат аксиому независимости от нерелевантных альтернатив - на выбор победителя механизмом голосования может повлиять то, доступен ли проигравший кандидат для голосования.

Вопреки широко распространенному мнению, продвигаемому среди других Элизабет Бадинтер и Робертом Бадинтером (в их биографии Кондорсе), этот парадокс ставит под сомнение только согласованность определенных систем голосования, а не саму демократию.

Двухэтапный процесс голосования

Одним из важных следствий возможного существования парадокса голосования в практической ситуации является то, что в двухэтапном процессе голосования возможный победитель может зависеть от того, как эти два этапа структурированы. Например, предположим, что победитель А против В в открытом первичном конкурсе за лидерство одной партии затем встретится с лидером второй партии, С, на всеобщих выборах. В предыдущем примере A победит B при выдвижении первой партии, а затем проиграет C на всеобщих выборах. Но если бы B был во второй партии, а не в первой, B победил бы C при выдвижении этой партии, а затем проиграл бы A на всеобщих выборах. Таким образом, структура двух этапов имеет значение, будет ли A или C окончательным победителем.

Точно так же структура последовательности голосов в законодательном органе может быть изменена лицом, организующим голоса, для обеспечения предпочтительного результата.

Структура парадокса Кондорсе может быть воспроизведена в механических устройствах, демонстрирующих непереходность отношений типа «вращать быстрее, чем», «поднимать и не подниматься», «быть сильнее, чем» в некоторых геометрических конструкциях.

Смотрите также

• Теорема невозможности Эрроу
  • Кеннет Эрроу , Раздел с примером распределительной трудности непереходности + правило большинства
• Дискурсивная дилемма
• Теорема Гиббарда – Саттертуэйта.
• Независимость от нерелевантных альтернатив
• Мгновенное голосование
• Число Накамура
• Квадратичное голосование
• Камень ножницы Бумага
• Парадокс Симпсона
• Набор Смита

Рекомендации

дальнейшее чтение

• Гарман, МБ; Камиен, М.И. (1968). «Парадокс голосования: вероятностные расчеты». Поведенческая наука . 13 (4): 306–316. DOI : 10.1002 / bs.3830130405 . PMID   5663897 .
• Niemi, RG; Вайсберг, Х. (1968). «Математическое решение вероятности парадокса голосования». Поведенческая наука . 13 (4): 317–323. DOI : 10.1002 / bs.3830130406 . PMID   5663898 .
• Niemi, RG; Райт, младший (1987). «Циклы голосования и структура индивидуальных предпочтений». Социальный выбор и благосостояние . 4 (3): 173–183. DOI : 10.1007 / BF00433943 . JSTOR   41105865 . S2CID   145654171 .