Стратегические дополнения - Strategic complements

В экономике и теории игр решения двух или более игроков называются стратегическими дополнениями, если они взаимно усиливают друг друга, и стратегическими заменителями, если они взаимно уравновешивают друг друга. Эти термины были первоначально введены Bulow, Geanakoplos и Klemperer (1985).

Чтобы понять, что имеется в виду под `` усилить '' или `` компенсировать '', рассмотрим ситуацию, в которой все игроки имеют одинаковый выбор, как в статье Бюлоу и др., Где все игроки - это фирмы с несовершенной конкуренцией, каждая из которых должна решить сколько производить. Тогда производственные решения являются стратегическим дополнением, если увеличение производства одной фирмы увеличивает предельную выручку других, потому что это дает другим стимул производить больше. Это имеет место, если существует достаточно высокая совокупная возрастающая отдача от масштаба и / или кривые спроса на продукцию фирм имеют достаточно низкую эластичность по собственной цене . С другой стороны, производственные решения являются стратегической заменой, если увеличение объема производства одной фирмы снижает предельные доходы других, давая им стимул производить меньше.

По мнению Рассела Купера и Эндрю Джона, стратегическая взаимодополняемость является основным свойством, лежащим в основе примеров множественного равновесия в координационных играх .

Формулировка исчисления

Математически рассмотрим симметричную игру с двумя игроками, каждый из которых имеет функцию выигрыша , где представляет собственное решение игрока и представляет решение другого игрока. Предположим, что в собственной стратегии игрока растет и вогнутость . Согласно этим предположениям, два решения являются стратегическими дополнениями, если увеличение собственного решения каждого игрока увеличивает предельный выигрыш другого игрока. Другими словами, решения являются стратегическим дополнением, если вторая производная положительна для . Эквивалентно это означает, что функция является супермодульной . ${\ displaystyle \, \ Pi (x_ {i}, x_ {j})}$${\ displaystyle \, x_ {i}}$${\ displaystyle \, x_ {j}}$${\ displaystyle \, \ Pi}$${\ displaystyle \, x_ {i}}$${\ displaystyle \, x_ {i}}$${\ displaystyle {\ frac {\ partial \ Pi _ {j}} {\ partial x_ {j}}}}$${\ displaystyle {\ frac {\ partial ^ {2} \ Pi _ {j}} {\ partial x_ {j} \ partial x_ {i}}}}$${\ displaystyle i \ neq j}$${\ displaystyle \, \ Pi}$

С другой стороны, решение стратегические заменители , если отрицательно, то есть, если это субмодулярное . ${\ displaystyle {\ frac {\ partial ^ {2} \ Pi _ {j}} {\ partial x_ {j} \ partial x_ {i}}}}$${\ displaystyle \, \ Pi}$

пример

В своей оригинальной статье Bulow et al. используйте простую модель конкуренции между двумя фирмами, чтобы проиллюстрировать их идеи. Выручка для фирмы x с производительностью определяется выражением ${\ displaystyle (x_ {1}, x_ {2})}$

${\ displaystyle U_ {x} (x_ {1}, x_ {2}; y_ {2}) = p_ {1} x_ {1} + (1-x_ {2} -y_ {2}) x_ {2} - (x_ {1} + x_ {2}) ^ {2} / 2-F}$

в то время как выручка фирмы y с производительностью на рынке 2 определяется выражением ${\ displaystyle y_ {2}}$

${\ displaystyle U_ {y} (y_ {2}; x_ {1}, x_ {2}) = (1-x_ {2} -y_ {2}) y_ {2} -y_ {2} ^ {2} / 2-F}$

При любом внутреннем равновесии мы должны иметь ${\ displaystyle (x_ {1} ^ {*}, x_ {2} ^ {*}, y_ {2} ^ {*})}$

${\ displaystyle {\ dfrac {\ partial U_ {x}} {\ partial x_ {1}}} = 0, {\ dfrac {\ partial U_ {x}} {\ partial x_ {2}}} = 0, { \ dfrac {\ partial U_ {y}} {\ partial y_ {2}}} = 0.}$

Используя векторное исчисление, геометрическую алгебру или дифференциальную геометрию, Bulow et al. показали, что чувствительность равновесия Курно к изменениям в может быть вычислена в терминах вторых частных производных функций выигрыша: ${\ displaystyle p_ {1}}$

${\ displaystyle {\ begin {bmatrix} {\ dfrac {dx_ {1} ^ {*}} {dp_ {1}}} \\ [2.2ex] {\ dfrac {dx_ {2} ^ {*}} {dp_ {1}}} \\ [2.2ex] {\ dfrac {dy_ {2} ^ {*}} {dp_ {1}}} \ end {bmatrix}} = {\ begin {bmatrix} {\ dfrac {\ partial ^ {2} U_ {x}} {\ partial x_ {1} \ partial x_ {1}}} & {\ dfrac {\ partial ^ {2} U_ {x}} {\ partial x_ {1} \ partial x_ {2}}} & {\ dfrac {\ partial ^ {2} U_ {x}} {\ partial x_ {1} \ partial y_ {2}}} \\ [2.2ex] {\ dfrac {\ partial ^ { 2} U_ {x}} {\ partial x_ {1} \ partial x_ {2}}} & {\ dfrac {\ partial ^ {2} U_ {x}} {\ partial x_ {2} \ partial x_ {2 }}} & {\ dfrac {\ partial ^ {2} U_ {x}} {\ partial y_ {2} \ partial x_ {2}}} \\ [2.2ex] {\ dfrac {\ partial ^ {2} U_ {y}} {\ partial x_ {1} \ partial y_ {2}}} & {\ dfrac {\ partial ^ {2} U_ {y}} {\ partial x_ {2} \ partial y_ {2}} } & {\ dfrac {\ partial ^ {2} U_ {y}} {\ partial y_ {2} \ partial y_ {2}}} \ end {bmatrix}} ^ {- 1} {\ begin {bmatrix} - {\ dfrac {\ partial ^ {2} U_ {x}} {\ partial p_ {1} \ partial x_ {1}}} \\ [2.2ex] - {\ dfrac {\ partial ^ {2} U_ {x }} {\ partial p_ {1} \ partial x_ {2}}} \\ [2.2ex] - {\ dfrac {\ partial ^ {2} U_ {y}} {\ partial p_ {1} \ partial y_ { 2}}} \ end {bmatrix}}}$

Когда , ${\ Displaystyle 1/4 \ leq p_ {1} \ leq 2/3}$

${\ displaystyle {\ begin {bmatrix} {\ dfrac {dx_ {1} ^ {*}} {dp_ {1}}} \\ [2.2ex] {\ dfrac {dx_ {2} ^ {*}} {dp_ {1}}} \\ [2.2ex] {\ dfrac {dy_ {2} ^ {*}} {dp_ {1}}} \ end {bmatrix}} = {\ begin {bmatrix} -1 & -1 & 0 \\ -1 & -3 & -1 \\ 0 & -1 & -3 \ end {bmatrix}} ^ {- 1} {\ begin {bmatrix} -1 \\ 0 \\ 0 \ end {bmatrix}} = {\ frac {1 } {5}} {\ begin {bmatrix} 8 \\ - 3 \\ 1 \ end {bmatrix}}}$

Это, поскольку цена увеличивается на рынке 1, фирма x продает больше на рынке 1 и меньше на рынке 2, в то время как фирма y продает больше на рынке 2. Если равновесие Курно этой модели рассчитано явно, мы находим

${\ displaystyle x_ {1} ^ {*} = \ max \ left \ {0, {\ frac {8p_ {1} -2} {5}} \ right \}, x_ {2} ^ {*} = \ max \ left \ {0, {\ frac {2-3p_ {1}} {5}} \ right \}, y_ {2} ^ {*} = {\ frac {p_ {1} +1} {5} }.}$

Смотрите также

• Супермодульный
• Координационная игра
• Сбой координации (экономика)
• Уникальность или множественность равновесия
• Мультипликатор (экономика)

Ссылки