Число Stella octangula - Stella octangula number

124 магнитных шара, расположенных в форме восьмигранной стеллы.

В математике число stella octangula - это фигуральное число, основанное на stella octangula , в форме n (2 n ² - 1) .

Последовательность чисел stella octangula равна

0, 1, 14, 51, 124, 245, 426, 679, 1016, 1449, 1990, ... (последовательность A007588 в OEIS )

Только два из этих чисел квадратные .

Уравнение Юнггрена

Есть только два положительных квадратных числа октангулы стеллы, 1 и 9653449 = 3107 ² = (13 × 239) ² , что соответствует n = 1 и n = 169 соответственно. Эллиптическая кривая , описывающая число octangula квадрат STELLA,

${\ Displaystyle м ^ {2} = п (2n ^ {2} -1)}$

можно поместить в эквивалентную форму Вейерштрасса

${\ displaystyle x ^ {2} = y ^ {3} -2y}$

заменой переменных x = 2 m , y = 2 n . Поскольку эти два фактор п и 2 л ² - 1 квадратного число м ² являются взаимно простыми , они должны быть каждые квадратам себя, а вторая замена переменных и приводит к уравнению Люнгрены${\ displaystyle X = m / {\ sqrt {n}}}$${\ displaystyle Y = {\ sqrt {n}}}$

${\ displaystyle X ^ {2} = 2Y ^ {4} -1}$

Теорема Зигеля утверждает, что каждая эллиптическая кривая имеет только конечное число целочисленных решений, и Вильгельм Юнггрен  ( 1942 ) нашел трудное доказательство того, что единственными целочисленными решениями его уравнения были (1,1) и (239,13) , соответствующие два квадратных числа stella octangula. Луи Дж. Морделл предположил, что доказательство можно упростить, и несколько более поздних авторов опубликовали упрощения.

Дополнительные приложения

Числа stella octangula возникают в параметрическом семействе примеров задачи о скрещенных лестницах, в которой длина и высота лестниц и высота их точки пересечения являются целыми числами. В этих случаях соотношение между высотами двух лестниц - это число stella octangula.

Рекомендации

Внешние ссылки

• Вайсштейн, Эрик В. , «Число Стеллы Октангулы» , MathWorld