Уравнение Ричардса - Richards equation

Уравнение Ричардса представляет движение воды в ненасыщенных почвах и приписывается Лоренцо А. Ричардсу, который опубликовал уравнение в 1931 году. Это нелинейное уравнение в частных производных , которое часто трудно аппроксимировать, поскольку оно не имеет замкнутой формы. аналитическое решение. Уравнение основано на законе Дарси для потока грунтовых вод, который был разработан для насыщенного, а не ненасыщенного потока в пористой среде. Для этого добавляется дополнительное требование непрерывности. Форма переходного состояния уравнения Ричардса только в вертикальном направлении имеет вид

${\ displaystyle {\ frac {\ partial \ theta} {\ partial t}} = {\ frac {\ partial} {\ partial z}} \ left [K (\ theta) \ left ({\ frac {\ partial h } {\ partial z}} + 1 \ right) \ right] \}$

куда

${\ displaystyle K}$ - гидравлическая проводимость ,

${\ displaystyle h}$ головка матрикса, индуцированная капиллярным действием ,

${\ displaystyle z}$ это возвышение над вертикальной опорной точкой ,

${\ displaystyle \ theta}$ - объемное содержание воды , а

${\ displaystyle t}$ это время .

Хотя это уравнение приписывают Ричардсу, оно было первоначально введено 9 годами ранее Льюисом Фри Ричардсоном в 1922 году.

Вывод

Здесь мы показываем, как вывести уравнение Ричардса для вертикального направления в очень упрощенной форме. Сохранение массы говорит, что скорость изменения насыщения в замкнутом объеме равна скорости изменения общей суммы потоков в этот объем и из него, выражаясь математическим языком:

${\ displaystyle {\ frac {\ partial \ theta} {\ partial t}} = {\ vec {\ nabla}} \ cdot \ left (\ sum _ {я = 1} ^ {n} {{\ vec {q }} _ {i, \, {\ text {in}}}} - \ sum _ {j = 1} ^ {m} {{\ vec {q}} _ {j, \, {\ text {out} }}}\верно)}$

Поместите в 1D форму для направления : ${\ displaystyle {\ hat {k}}}$

${\ displaystyle {\ frac {\ partial \ theta} {\ partial t}} = - {\ frac {\ partial} {\ partial z}} q}$

Течение в горизонтальном направлении формулируется эмпирическим законом Дарси:

${\ displaystyle q = -K {\ frac {\ partial H} {\ partial z}}}$

Подставляя q в уравнение выше, мы получаем:

${\ displaystyle {\ frac {\ partial \ theta} {\ partial t}} = {\ frac {\ partial} {\ partial z}} \ left [K {\ frac {\ partial H} {\ partial z}} \верно]}$

Подставляя H = h + z :

${\ displaystyle {\ frac {\ partial \ theta} {\ partial t}} = {\ frac {\ partial} {\ partial z}} \ left [K \ left ({\ frac {\ partial h} {\ partial z}} + {\ frac {\ partial z} {\ partial z}} \ right) \ right] = {\ frac {\ partial} {\ partial z}} \ left [K \ left ({\ frac {\ частичный h} {\ partial z}} + 1 \ right) \ right]}$

Затем мы получаем приведенное выше уравнение, которое также называют смешанной формой уравнения Ричардса.

Составы

Уравнение Ричардса встречается во многих статьях в экологической литературе, потому что оно описывает поток в вадозной зоне между атмосферой и водоносным горизонтом. Он также появляется в чисто математических журналах, потому что имеет нетривиальные решения. Обычно он представлен в одной из трех форм. Смешанная форма , содержащая давление и насыщение было описано выше. Он также может присутствовать в двух других составах: на основе головы и на основе насыщенности .

Головной

${\ Displaystyle С (ч) {\ гидроразрыва {\ partial h} {\ partial t}} = \ nabla \ cdot \ left (K (h) \ nabla H \ right)}$

Где C (h) [1 / L] - это функция, описывающая скорость изменения насыщенности по отношению к матрице:

${\ Displaystyle С (ч) \ Equiv {\ гидроразрыва {\ partial \ theta} {\ partial h}}}$

Эта функция в литературе называется «удельной влагоемкостью» и может быть определена для различных типов почвы с помощью подбора кривой и лабораторных экспериментов, измеряющих скорость инфильтрации воды в столб почвы, как описано, например, у van Genuchten (1980).

На основе насыщенности

${\ Displaystyle {\ гидроразрыва {\ partial \ theta} {\ partial t}} = \ nabla \ cdot D (\ theta) \ nabla \ theta}$

Где D ( θ ) [L ² / T] - «коэффициент диффузии воды в почве»:

${\ Displaystyle D (\ theta) \ Equiv {\ frac {K (\ theta)} {C (\ theta)}} \ Equiv K (\ theta) {\ frac {\ partial h} {\ partial \ theta}} }$

Ограничения

Численное решение уравнения Ричардса - одна из самых сложных задач науки о Земле. Уравнение Ричардса подвергалось критике за то, что оно затратно с точки зрения вычислений и непредсказуемо, поскольку нет гарантии, что решатель сойдется для определенного набора определяющих соотношений почвы. Это предотвращает использование метода в общих приложениях, где высок риск несовпадения. Этот метод также подвергался критике за чрезмерное подчеркивание роли капиллярности и за то, что он в некотором смысле «чрезмерно упрощен». При одномерном моделировании инфильтрации дождевых осадков в сухие почвы требуется тонкая пространственная дискретизация менее одного см вблизи поверхности земли. , что связано с малым размером представительного элементарного объема для многофазного течения в пористой среде. В трехмерных приложениях численное решение уравнения Ричардса подчиняется ограничениям на соотношение сторон, где отношение горизонтального к вертикальному разрешению в области решения должно быть меньше примерно 7.

Рекомендации

Смотрите также

• Проникновение (гидрология)
• Кривая удержания воды
• Метод потока вадозной зоны с конечной влажностью
• Уравнение скорости влажности почвы