Относительный скаляр - Relative scalar

В математике относительный скаляр (веса  w ) - это скалярнозначная функция , преобразование которой при координатном преобразовании

${\ displaystyle {\ bar {x}} ^ {j} = {\ bar {x}} ^ {j} (x ^ {i})}$

на n -мерном многообразии подчиняется следующему уравнению

${\ displaystyle {\ bar {f}} ({\ bar {x}} ^ {j}) = J ^ {w} f (x ^ {i})}$

куда

${\ displaystyle J = {\ begin {vmatrix} \ displaystyle {\ frac {\ partial (x_ {1}, \ ldots, x_ {n})} {\ partial ({\ bar {x}} ^ {1}, \ ldots, {\ bar {x}} ^ {n})}} \ end {vmatrix}},}$

то есть определитель якобиана преобразования. Скалярная плотность относится к случаю. ${\ displaystyle w = 1}$

Относительные скаляры - важный частный случай более общего понятия относительного тензора .

Обычный скаляр

Обычная скалярный или абсолютные скалярный относится к случаю. ${\ displaystyle w = 0}$

Если и ссылаются на одну и ту же точку на многообразии, тогда мы желаем . Это уравнение можно интерпретировать двояко, когда оно рассматривается как «новые координаты» и рассматривается как «исходные координаты». Первый - as , который «преобразует функцию в новые координаты». Второй - as , который «преобразует обратно в исходные координаты. Конечно,« новый »или« оригинальный »- понятие относительное. ${\ Displaystyle х ^ {я}}$${\ displaystyle {\ bar {x}} ^ {j}}$${\ displaystyle P}$${\ displaystyle {\ bar {f}} ({\ bar {x}} ^ {j}) = f (x ^ {i})}$${\ displaystyle {\ bar {x}} ^ {j}}$${\ Displaystyle х ^ {я}}$${\ displaystyle {\ bar {f}} ({\ bar {x}} ^ {j}) = f (x ^ {i} ({\ bar {x}} ^ {j}))}$${\ displaystyle f (x ^ {i}) = {\ bar {f}} ({\ bar {x}} ^ {j} (x ^ {i}))}$

Есть много физических величин, которые представлены обычными скалярами, например температура и давление.

Пример веса 0

Предположим, что температура в комнате задана функцией в декартовых координатах, а функция желательна в цилиндрических координатах . Две системы координат связаны следующими наборами уравнений: ${\ displaystyle f (x, y, z) = 2x + y + 5}$${\ Displaystyle (х, у, г)}$${\ Displaystyle (г, т, ч)}$

${\ displaystyle r = {\ sqrt {x ^ {2} + y ^ {2}}} \,}$

${\ Displaystyle т = \ arctan (у / х) \,}$

${\ Displaystyle ч = г \,}$

и

${\ Displaystyle х = г \ соз (т) \,}$

${\ Displaystyle у = г \ грех (т) \,}$

${\ Displaystyle г = ч. \,}$

Использование позволяет получить как преобразованную функцию. ${\ displaystyle {\ bar {f}} ({\ bar {x}} ^ {j}) = f (x ^ {i} ({\ bar {x}} ^ {j}))}$${\ displaystyle {\ bar {f}} (r, t, h) = 2r \ cos (t) + r \ sin (t) +5}$

Рассмотрим точку , декартовы координаты которой равны, а соответствующее значение в цилиндрической системе равно . Быстрый подсчет показывает это и тоже. Это равенство справедливо для любой выбранной точки . Таким образом, является «функцией температуры в декартовой системе координат» и является «функцией температуры в цилиндрической системе координат». ${\ displaystyle P}$${\ Displaystyle (х, у, z) = (2,3,4)}$${\ Displaystyle (г, т, ч) = ({\ sqrt {13}}, \ arctan {(3/2)}, 4)}$${\ Displaystyle f (2,3,4) = 12}$${\ displaystyle {\ bar {f}} ({\ sqrt {13}}, \ arctan {(3/2)}, 4) = 12}$${\ displaystyle P}$${\ Displaystyle е (х, у, г)}$${\ displaystyle {\ bar {f}} (г, т, ч)}$

Один из способов рассматривать эти функции как представление «родительской» функции, которая принимает точку многообразия в качестве аргумента и дает температуру.

Проблема могла быть обращена вспять. Можно было дать и пожелать получить декартову температурную функцию . Это просто переворачивает представление о «новой» и «исходной» системе координат. ${\ displaystyle {\ bar {f}}}$${\ displaystyle f}$

Предположим, что кто-то желает интегрировать эти функции по «комнате», которая будет обозначена . (Да, интегрировать температуру странно, но это частично то, что нужно показать.) Предположим, что область задана в цилиндрических координатах от , от и от (то есть "комната" представляет собой четверть среза цилиндра радиуса и высоты 2 ). Интеграл по области равен ${\ displaystyle D}$${\ displaystyle D}$${\ displaystyle r}$${\ displaystyle [0,2]}$${\ displaystyle t}$${\ displaystyle [0, \ pi / 2]}$${\ displaystyle h}$${\ displaystyle [0,2]}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle D}$

${\ displaystyle \ int _ {0} ^ {2} \! \ int _ {0} ^ {\ sqrt {2 ^ {2} -x ^ {2}}} \! \ int _ {0} ^ {2 } \! f (x, y, z) \, dz \, dy \, dx = 16 + 10 \ pi}$ .

Значение интеграла по той же области составляет ${\ displaystyle {\ bar {f}}}$

${\ displaystyle \ int _ {0} ^ {2} \! \ int _ {0} ^ {\ pi / 2} \! \ int _ {0} ^ {2} \! {\ bar {f}} ( r, t, h) \, dh \, dt \, dr = 12 + 10 \ pi}$ .

Они не равны. Интеграл температуры не зависит от используемой системы координат. В этом смысле он нефизический, следовательно, «странный». Обратите внимание, что если в интеграл включен фактор якобиана (что справедливо ), мы получим ${\ displaystyle {\ bar {f}}}$${\ displaystyle r}$

${\ displaystyle \ int _ {0} ^ {2} \! \ int _ {0} ^ {\ pi / 2} \! \ int _ {0} ^ {2} \! {\ bar {f}} ( r, t, h) r \, dh \, dt \, dr = 16 + 10 \ pi}$ ,

который является равным исходным интегралом , но это, однако , не интеграл от температуры , так как температура является относительно скаляром веса 0, а не относительной скаляр веса 1.

Вес 1 пример

Однако если бы мы сказали, что представляет собой массовую плотность, то ее преобразованное значение должно включать фактор Якоби, который учитывает геометрическое искажение системы координат. Преобразованная функция сейчас . На этот раз, но . Как и раньше, интеграл (полная масса) в декартовых координатах равен ${\ displaystyle f (x, y, z) = 2x + y + 5}$${\ displaystyle {\ bar {f}} (r, t, h) = (2r \ cos (t) + r \ sin (t) +5) r}$${\ Displaystyle f (2,3,4) = 12}$${\ displaystyle {\ bar {f}} ({\ sqrt {13}}, \ arctan {(3/2)}, 4) = 12 {\ sqrt {29}}}$

${\ displaystyle \ int _ {0} ^ {2} \! \ int _ {0} ^ {\ sqrt {2 ^ {2} -x ^ {2}}} \! \ int _ {0} ^ {2 } \! f (x, y, z) \, dz \, dy \, dx = 16 + 10 \ pi}$ .

Значение интеграла по той же области составляет ${\ displaystyle {\ bar {f}}}$

${\ displaystyle \ int _ {0} ^ {2} \! \ int _ {0} ^ {\ pi / 2} \! \ int _ {0} ^ {2} \! {\ bar {f}} ( r, t, h) \, dh \, dt \, dr = 16 + 10 \ pi}$ .

Они равны. Интеграл от плотности массы дает общую массу, которая не зависит от координат. Обратите внимание, что если интеграл от также включает множитель якобиана, как раньше, мы получаем ${\ displaystyle {\ bar {f}}}$

${\ displaystyle \ int _ {0} ^ {2} \! \ int _ {0} ^ {\ pi / 2} \! \ int _ {0} ^ {2} \! {\ bar {f}} ( r, t, h) r \, dh \, dt \, dr = 24 + 40 \ pi / 3}$ ,

что не равно предыдущему случаю.

Другие случаи

Веса, отличного от 0 и 1, возникают не так часто. Можно показать, что определитель тензора типа (0,2) является относительным скаляром веса 2.

Смотрите также

• Матрица Якоби и определитель

Рекомендации