Функция рампы - Ramp function

Функция линейного изменения - это унарная вещественная функция , график которой имеет форму кривой . Это может быть выражено множеством определений , например «0 для отрицательных входов, выход равен входу для неотрицательных входов». Термин «рампа» также может использоваться для других функций, полученных путем масштабирования и сдвига , а функция в этой статье - это функция единичного линейного изменения (наклон 1, начиная с 0).

В математике функция линейного изменения также известна как положительная часть .

В машинном обучении это широко известно как функция активации ReLU или выпрямитель по аналогии с полуволновым выпрямлением в электротехнике . В статистике (при использовании в качестве функции правдоподобия ) она известна как модель тобита .

Эта функция имеет множество приложений в математике и инженерии и носит разные имена в зависимости от контекста.

Определения

Функция линейного изменения ( R ( x ): ℝ → ℝ ₀ ⁺ ) может быть определена аналитически несколькими способами. Возможные определения:

• Кусочно :

  ${\ Displaystyle R (x): = {\ begin {case} x, & x \ geq 0; \\ 0, & x <0 \ end {cases}}}$

• Максимальная функция :

  ${\ Displaystyle R (х): = \ макс (х, 0)}$

• Среднее из независимых переменных и ее абсолютного значения (прямая линия с градиентом единства и ее модулем):

  ${\ Displaystyle R (x): = {\ frac {x + | x |} {2}}}$

это можно вывести, обратив внимание на следующее определение max ( a , b ) ,

${\ displaystyle \ max (a, b) = {\ frac {a + b + | ab |} {2}}}$

для которых a = x и b = 0

• Функция Хевисайда , умноженное на прямой линии с градиентом единства:

  ${\ Displaystyle R \ влево (х \ вправо): = хН (х)}$

• Свертка из ступенчатой функции Хевисайда с самим собой:

  ${\ Displaystyle R \ влево (х \ вправо): = H (x) * H (x)}$

• Интеграл от ступенчатой функции Хевисайда:

  ${\ Displaystyle R (x): = \ int _ {- \ infty} ^ {x} H (\ xi) \, d \ xi}$

• Брекеты Маколея :

  ${\ Displaystyle R (x): = \ langle x \ rangle}$

• Положительная часть из тождественной функции :

  ${\ Displaystyle R: = \ mathrm {id} ^ {+}}$

Приложения

Функция линейного изменения имеет множество приложений в инженерии, например, в теории цифровой обработки сигналов .

В финансах выплата по опциону колл - это наклон (смещенный ценой исполнения ). Горизонтальный переворот рампы дает опцион пут , а вертикальный переворот (принятие отрицательного значения) соответствует продаже или «короткой позиции» опциона. В финансах эту форму широко называют « хоккейной клюшкой », поскольку она похожа на хоккейную клюшку .

В статистике , шарнирные функции из многомерных адаптивных регрессии сплайнов (MARS) пандусы, и используются для построения регрессионных моделей .

Аналитические свойства

Неотрицательность

Во всей области определения функция неотрицательна, поэтому ее абсолютное значение равно самому себе, т. Е.

${\ displaystyle \ forall x \ in \ mathbb {R}: R (x) \ geq 0}$

а также

${\ Displaystyle \ влево | р (х) \ вправо | = р (х)}$

• Доказательство: в соответствии с определением 2 оно неотрицательно в первой четверти и ноль во второй; так что везде неотрицательно.

Производная

Его производная - функция Хевисайда :

${\ displaystyle R '(x) = H (x) \ quad {\ mbox {for}} x \ neq 0.}$

Вторая производная

Функция линейного изменения удовлетворяет дифференциальному уравнению:

${\ displaystyle {\ frac {d ^ {2}} {dx ^ {2}}} R (x-x_ {0}) = \ delta (x-x_ {0}),}$

где δ ( x ) - дельта Дирака . Это означает, что R ( x ) является функцией Грина для оператора второй производной. Таким образом, любая функция f ( x ) с интегрируемой второй производной f ″ ( x ) будет удовлетворять уравнению:

${\ Displaystyle е (х) = е (а) + (ха) е '(а) + \ int _ {а} ^ {b} R (xs) f' '(s) \, ds \ quad {\ mbox {for}} a <x <b.}$

преобразование Фурье

${\ Displaystyle {\ mathcal {F}} {\ big \ {} R (x) {\ big \}} (f) = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} R (x) e ^ { -2 \ pi ifx} \, dx = {\ frac {i \ delta '(f)} {4 \ pi}} - {\ frac {1} {4 \ pi ^ {2} f ^ {2}}} ,}$

где δ ( x ) - дельта Дирака (в этой формуле фигурирует ее производная ).

Преобразование Лапласа

Одностороннее преобразование Лапласа для R ( x ) задается следующим образом:

${\ displaystyle {\ mathcal {L}} {\ big \ {} R (x) {\ big \}} (s) = \ int _ {0} ^ {\ infty} e ^ {- sx} R (x ) dx = {\ frac {1} {s ^ {2}}}.}$

Алгебраические свойства

Итерационная инвариантность

Каждая повторяющаяся функция отображения рампы является самой собой, поскольку

${\ Displaystyle R {\ big (} R (x) {\ big)} = R (x).}$

• Доказательство:

${\ Displaystyle R {\ big (} R (x) {\ big)}: = {\ frac {R (x) + | R (x) |} {2}} = {\ frac {R (x) + R (x)} {2}} = R (x).}$

При этом применяется неотрицательное свойство .

Смотрите также

• Модель Tobit

использованная литература