Формализм Пресс – Шехтера - Press–Schechter formalism

Формализм Пресс-Шехтер является математической моделью для прогнозирования количества объектов (например, галактик , скоплений галактик или гало темной материи ) определенной массы в пределах заданного объема Вселенной. Он был описан в научной статье на William H. Press и Пол Шехтера в 1974 году.

Фон

В контексте космологических моделей холодной темной материи возмущения всех масштабов запечатлеваются во Вселенной в очень ранние времена, например, квантовыми флуктуациями во время инфляционной эры . Позже, когда излучение удаляется в красную область, они становятся массовыми возмущениями и начинают линейно расти. Только спустя много времени после этого, начиная с малых масштабов массы и переходя со временем к более крупным масштабам, возмущения фактически коллапсируют, образуя (например) галактики или скопления галактик в так называемом иерархическом образовании структуры (см. Физическая космология ).

Пресс и Шехтер заметили, что доля массы в сжатых объектах, более массивных, чем некоторая масса M, связана с долей объемных образцов, в которых сглаженные начальные флуктуации плотности превышают некоторый порог плотности. Это дает формулу для функции масс (распределения масс) объектов в любой момент времени.

Результат

Формализм Пресса-Шехтера предсказывает, что количество объектов с массой между и составляет: ${\displaystyle M}$${\displaystyle M+dM}$

${\displaystyle dn\equiv N(M)dM={\frac {1}{\sqrt {\pi }}}\left(1+{\frac {n}{3}}\right){\frac {\bar {\rho }}{M^{2}}}\left({\frac {M}{M^{*}}}\right)^{\left(3+n\right)/6}\exp \left(-\left({\frac {M}{M^{*}}}\right)^{\left(3+n\right)/3}\right)dM}$

где - индекс спектра мощности флуктуаций в ранней Вселенной , - средняя (барионная и темная) плотность материи Вселенной в то время, когда флуктуация, из которой образовался объект, подверглась гравитационному коллапсу, и является отсечкой масса, ниже которой будут формироваться конструкции. Его значение: ${\displaystyle n}$${\displaystyle P(k)\propto k^{n}}$${\displaystyle {\bar {\rho }}}$${\displaystyle M^{*}}$

${\displaystyle M^{*}=\left({\frac {{\bar {\rho }}^{1-{\frac {n}{3}}}}{2\sigma ^{2}}}\right)^{\frac {3}{3+n}}=\left({\frac {{\bar {\rho }}_{0}^{1-{\frac {n}{3}}}}{2\sigma _{0}^{2}}}\right)^{\frac {3}{3+n}}\cdot {\frac {R_{0}^{2}}{R^{2}}}}$

${\displaystyle \sigma }$- стандартное отклонение на единицу объема колебания, из которого был сформирован объект, который гравитационно коллапсировал во время гравитационного коллапса, а R - масштаб Вселенной в то время. Параметры с нижним индексом 0 относятся к моменту первоначального создания флуктуаций (или в любое более позднее время до гравитационного коллапса).

Качественно предсказание состоит в том, что распределение масс является степенным для малых масс с экспоненциальным отсечением выше некоторой характеристической массы, которая увеличивается со временем. Такие функции ранее были отмечены Шехтером как наблюдаемые функции светимости , а теперь известны как функции светимости Шехтера. Формализм Пресс-Шехтера предоставил первую количественную модель того, как могут возникать такие функции.

Случай безмасштабного спектра мощности, n = 0 (или, что эквивалентно, скалярный спектральный индекс , равный 1), очень близок к спектру текущей стандартной космологической модели . В этом случае имеет более простой вид. Написано в безмассовых единицах: ${\displaystyle dn}$

${\displaystyle M{\frac {dn}{dM}}={\frac {1}{\sqrt {\pi }}}{\frac {\bar {\rho }}{M}}\left({\frac {M}{M^{*}}}\right)^{1/2}e^{-M/M^{*}}}$

Предположения и вывод

Формализм Пресса – Шехтера основан на предположении, что каждый объект образован гравитационным коллапсом флуктуации плотности. Кроме того, предполагается, что флуктуации малы в некоторый ранний космологический момент и рассматриваются в линейном приближении, даже если конечный коллапс сам по себе является нелинейным процессом.

Колебания плотности распределены нормально, и их дисперсия составляет: где - стандартное отклонение массы в объеме колебания, а - его масса. ${\displaystyle \delta _{*}^{2}={\frac {\Sigma ^{2}}{M^{2}}}={\frac {V\cdot \sigma ^{2}}{M^{2}}}={\frac {\sigma ^{2}}{M\cdot \rho }}}$${\displaystyle \Sigma }$${\displaystyle M}$

Дробное колебание ; в какой-то космологический момент достигает гравитационного коллапса после того, как Вселенная с того времени расширилась в 1 / δ раз. Используя это, нормальное распределение колебаний, записанное в терминах , и дает формулу Пресса-Шехтера. ${\displaystyle \delta }$${\displaystyle M}$${\displaystyle \rho }$${\displaystyle \sigma }$

Обобщения

Существует ряд обобщений формулы Пресса – Шехтера, например Шет-Тормен.

использованная литература