Теорема Прандтля – Бэтчелора - Prandtl–Batchelor theorem

В динамике жидкости , Прандтль-Бачелор теорема утверждает , что если в двумерном ламинарного потока при высоких числах Рейнольдса закрыт тока происходит, то завихренности в закрытом обтекаемой области должна быть постоянной . Теорема названа в честь Людвига Прандтля и Джорджа Бэтчелора . Прандтль в своей знаменитой статье 1904 года изложил эту теорему в аргументах, Джордж Бэтчелор, не зная об этой работе, доказал теорему в 1956 году. В том же году проблема была изучена Ричардом Фейнманом и Пако Лагерстремом и У. Вудом в 1957 году.

Математическое доказательство

При больших числах Рейнольдса , уравнения Эйлера сводятся к решению задачи для функции тока ,

${\ displaystyle \ nabla ^ {2} \ psi = - \ omega (\ psi), \ quad \ psi = \ psi _ {o} {\ text {on}} \ partial D.}$

В существующем виде проблема некорректна, поскольку распределение завихренности может иметь бесконечное количество возможностей, каждая из которых удовлетворяет уравнению и граничному условию. Это неверно, если линии тока не замкнуты, и в этом случае каждую линию тока можно проследить до бесконечности, где она известна. Проблема заключается только в том, что внутри потока возникают замкнутые линии тока при высоком числе Рейнольдса, которое не определено однозначно. Теорема как раз решает этот вопрос. ${\ displaystyle \ omega (\ psi)}$${\ displaystyle \ omega (\ psi)}$${\ displaystyle \ omega (\ psi)}$

В двумерных потоках единственная ненулевая компонента лежит в направлении z. Установившееся безразмерное уравнение завихренности в этом случае сводится к

${\ displaystyle \ mathbf {u} \ cdot \ nabla \ mathbf {\ omega} = {\ frac {1} {\ mathrm {Re}}} \ nabla ^ {2} \ omega.}$

Интегрируем уравнение по поверхности, полностью лежащей в области замкнутых линий тока, ограниченных замкнутым контуром${\ displaystyle S}$${\ displaystyle C}$

${\ displaystyle \ int _ {S} \ mathbf {u} \ cdot \ nabla \ mathbf {\ omega} \, d \ mathbf {S} = {\ frac {1} {\ mathrm {Re}}} \ int _ {S} \ nabla ^ {2} \ omega \, d \ mathbf {S}.}$

Подынтегральное выражение в левом члене можно записать так, как . По теореме о расходимости получаем ${\ displaystyle \ nabla \ cdot (\ omega \ mathbf {u})}$${\ Displaystyle \ набла \ cdot \ mathbf {u} = 0}$

${\ displaystyle \ oint _ {C} \ omega \ mathbf {u} \ cdot \ mathbf {n} dl = {\ frac {1} {\ mathrm {Re}}} \ oint _ {C} \ nabla \ omega \ компакт-диск \ mathbf {n} дл.}$

где - направленный наружу единичный вектор, нормальный к элементу контурной линии . Левую часть подынтегрального выражения можно сделать нулем, если контур выбран как одна из замкнутых линий тока, поскольку тогда вектор скорости, спроецированный перпендикулярно контуру, будет равен нулю, то есть . Таким образом получается ${\ Displaystyle \ mathbf {п}}$${\ displaystyle dl}$${\ displaystyle C}$${\ Displaystyle \ mathbf {и} \ cdot \ mathbf {п} = 0}$

${\ displaystyle {\ frac {1} {\ mathrm {Re}}} \ oint _ {C} \ nabla \ omega \ cdot \ mathbf {n} \ dl = 0}$

Это выражение верно для конечного, но большого числа Рейнольдса, поскольку мы не пренебрегали вязким членом ранее.

В отличии от двумерный невязки потоков, где с момента без каких - либо ограничений на функциональной форме , в вязкой жидкости, . Но для больших, но конечных значений мы можем писать , и эти маленькие поправки становятся все меньше и меньше по мере увеличения числа Рейнольдса. Таким образом, в пределе в первом приближении (без малых поправок) имеем ${\ displaystyle \ omega = \ omega (\ psi)}$${\ Displaystyle \ mathbf {u} \ cdot \ nabla \ omega = 0}$${\ displaystyle \ omega}$${\ Displaystyle \ omega \ neq \ omega (\ psi)}$${\ Displaystyle \ mathrm {Re}}$${\ displaystyle \ omega = \ omega (\ psi) + {\ rm {small \ corrections}}}$${\ Displaystyle \ mathrm {Re} \ rightarrow \ infty}$

${\ displaystyle {\ frac {1} {\ mathrm {Re}}} \ oint _ {C} \ nabla \ omega \ cdot \ mathbf {n} \ ds = {\ frac {1} {\ mathrm {Re}} } \ oint _ {C} {\ frac {d \ omega} {d \ psi}} \ nabla \ psi \ cdot \ mathbf {n} \ ds = 0.}$

Поскольку является постоянным для данной линии тока, мы можем вынести этот член за пределы интеграла, ${\ displaystyle d \ omega / d \ psi}$

${\ displaystyle {\ frac {1} {\ mathrm {Re}}} {\ frac {d \ omega} {d \ psi}} \ oint _ {C} \ nabla \ psi \ cdot \ mathbf {n} \ dl = 0.}$

Можно заметить, что интеграл циркуляции отрицательный, так как

${\ displaystyle \ Gamma = - \ oint _ {C} \ mathbf {u} \ cdot d \ mathbf {l} = - \ int _ {S} \ omega d \ mathbf {S} = \ int _ {S} \ набла ^ {2} \ psi d \ mathbf {S} = \ oint _ {C} \ nabla \ psi \ cdot \ mathbf {n} dl}$

где мы использовали теорему Стокса для циркуляции и . Таким образом, мы имеем ${\ displaystyle \ omega = - \ nabla ^ {2} \ psi}$

${\ displaystyle {\ frac {\ Gamma} {\ mathrm {Re}}} {\ frac {d \ omega} {d \ psi}} = 0.}$

Циркуляция вокруг этих замкнутых линий тока не равна нулю (если скорость в каждой точке линии тока не равна нулю с возможным прерывистым скачком завихренности через линию тока). Единственный способ удовлетворить вышеприведенное уравнение - это только если

${\ displaystyle {\ frac {d \ omega} {d \ psi}} = 0,}$

т.е. завихренность не меняется на этих замкнутых линиях тока, что доказывает теорему. Конечно, в режиме погранслоя теорема неверна. Эту теорему нельзя вывести из уравнений Эйлера.

использованная литература