Положительно определенная функция на группе - Positive-definite function on a group

В математике, и особенно в теории операторов , положительно определенная функция на группе связывает понятия положительности в контексте гильбертовых пространств и алгебраических групп . Его можно рассматривать как особый тип положительно определенного ядра, в котором базовое множество имеет дополнительную групповую структуру.

Определение

Пусть G является группой, Н комплексное гильбертово пространство и Ь ( Н ) будут ограниченные операторы на H . Положительно определенная функция на G является функция F : G → L ( Н ) , что удовлетворяет

${\ displaystyle \ sum _ {s, t \ in G} \ langle F (s ^ {- 1} t) h (t), h (s) \ rangle \ geq 0,}$

для любой функции h : G → H с конечным носителем ( h принимает ненулевые значения только для конечного числа s ).

Другими словами, функция F : G → L ( H ) называется положительно определенной функцией, если ядро K : G × G → L ( H ), определенное формулой K ( s , t ) = F ( s ⁻¹ t ) - положительно определенное ядро.

Унитарные представления

Унитарное представление является унитальной гомоморфизм Φ: G → L ( H ) , где Φ ( ы ) представляет собой унитарный оператор для всех х . Для такого Φ Φ ( s ⁻¹ ) = Φ ( s ) *.

Положительно определенные функции на G тесно связаны с унитарными представлениями G . Каждое унитарное представление группы G порождает семейство положительно определенных функций. И наоборот, для положительно определенной функции можно естественным образом определить унитарное представление группы G.

Пусть Φ: G → L ( H ) унитарное представление G . Если P  ∈  L ( H ) является проекцией на замкнутое подпространство H` из H . Тогда F ( s ) =  P Φ ( s ) - положительно определенная функция на G со значениями в L ( H` ). Это легко показать:

${\ Displaystyle {\ begin {align} \ sum _ {s, t \ in G} \ langle F (s ^ {- 1} t) h (t), h (s) \ rangle & = \ sum _ {s , t \ in G} \ langle P \ Phi (s ^ {- 1} t) h (t), h (s) \ rangle \\ {} & = \ sum _ {s, t \ in G} \ langle \ Phi (t) h (t), \ Phi (s) h (s) \ rangle \\ {} & = \ left \ langle \ sum _ {t \ in G} \ Phi (t) h (t), \ sum _ {s \ in G} \ Phi (s) h (s) \ right \ rangle \\ {} & \ geq 0 \ end {align}}}$

для любого h : G → H` с конечным носителем. Если G имеет топологию и Φ слабо (соответственно сильно) непрерывна, то , очевидно , так F .

С другой стороны, Рассмотрим теперь положительно определенной функции F на G . Унитарное представление группы G можно получить следующим образом. Пусть C ₀₀ ( G , H ) - семейство функций h : G → H с конечным носителем. Соответствующее положительное ядро K ( s , t ) = F ( s ⁻¹ t ) определяет (возможно, вырожденное) скалярное произведение на C ₀₀ ( G , H ). Пусть полученное гильбертово пространство обозначим через V .

Заметим , что «матричные элементы» К ( ы , т ) = K ( а ^-1 с , ^-1 т ) для всех а , ев , т в G . Таким образом, U _a h ( s ) = h ( a ⁻¹ s ) сохраняет скалярное произведение на V , т.е. оно унитарно в L ( V ). Очевидно , что отображение Φ ( ) = U является представлением G на V .

Унитарное представление единственно с точностью до изоморфизма гильбертова пространства, если выполняется следующее условие минимальности:

${\ Displaystyle V = \ bigvee _ {s \ in G} \ Phi (s) H \,}$

где означает замыкание линейной оболочки. ${\ displaystyle \ bigvee}$

Определим H как элементы (возможно, классы эквивалентности) в V , носитель которых состоит из единичного элемента e  ∈  G , и пусть P - проекция на это подпространство. Тогда мы имеем PU P = F ( ) для всех  в  ∈  G .

Ядра Теплица

Пусть G - аддитивная группа целых чисел Z . Ядро K ( n , m ) = F ( m - n ) называется ядром тёплицева типа по аналогии с тёплицевыми матрицами . Если F имеет вид F ( n ) = T ^n, где T - ограниченный оператор, действующий в некотором гильбертовом пространстве. Можно показать, что ядро K ( n , m ) положительно тогда и только тогда, когда T - сжатие . К обсуждению в предыдущем разделе, мы имеем унитарное представление Z , Ф ( п ) = U ^п для унитарного оператора U . Более того, свойство PU _a P = F ( a ) теперь переводится в PU ⁿ P = T ⁿ . Это в точности теорема Ш.-Надя о растяжении и намекает на важную теоретико- растяжимую характеристику положительности, которая приводит к параметризации произвольных положительно определенных ядер.

Ссылки

• Кристиан Берг, Кристенсен, Пол Рессель , Гармонический анализ на полугруппах , GTM, Springer Verlag.
• Т. Константинеску, Параметры Шура, проблемы расширения и факторизации , Birkhauser Verlag, 1996.
• Б. С.-Надь, К. Фойас, Гармонический анализ операторов в гильбертовом пространстве, Северная Голландия, 1970.
• З. Сасвари, Положительно определенные и определяемые функции , Akademie Verlag, 1994.
• JH Wells, LR Williams, Вложения и расширения в анализе , Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete, Band 84. Springer-Verlag, New York-Heidelberg, 1975. vii + 108 с.