Теорема Помпею - Pompeiu's theorem

Теорема Помпейу является результатом плоской геометрии , открытой румынским математиком Димитри Помпейу . Теорема простая, но не классическая. В нем говорится следующее:

Даны равносторонний треугольник ABC на плоскости и точка P на плоскости треугольника ABC, длины PA, PB и PC образуют стороны (возможно, вырожденного) треугольника.

Доказательство теоремы Помпейу с треугольником Помпейу ${\ Displaystyle \ треугольник PCP '}$

Доказательство быстрое. Рассмотрим поворот 60 ° вокруг точки B . Предположим, что A отображается в C , а P отображается в P  '. Затем , и . Следовательно, треугольник PBP  'равносторонний и . Тогда . Таким образом, треугольник PCP  'имеет стороны, равные PA , PB и PC, и построение доказательства завершено (см. Рисунок). ${\ Displaystyle \ scriptstyle PB \ = \ P'B}$${\ Displaystyle \ scriptstyle \ angle PBP '\ = \ 60 ^ {\ circ}}$${\ Displaystyle \ scriptstyle PP '\ = \ PB}$${\ Displaystyle \ scriptstyle PA \ = \ P'C}$

Дальнейшие исследования показывают, что если P находится не внутри треугольника, а на описанной окружности , то PA , PB , PC образуют вырожденный треугольник, наибольший из которых равен сумме остальных, это наблюдение также известно как Теорема Ван Шутена .

Помпейу опубликовал теорему в 1936 году, однако Август Фердинанд Мёбиус опубликовал более общую теорему о четырех точках на евклидовой плоскости уже в 1852 году. В этой статье Мёбиус также явно вывел формулировку теоремы Помпейу как частный случай своей более общей теоремы. По этой причине теорема также известна как теорема Мёбиуса-Помпейу .

внешние ссылки

• Страница MathWorld о теореме Помпейу
• Теорема Помпейу на cut-the-knot.org

Примечания