Нелинейный резонанс - Nonlinear resonance

В физике , нелинейный резонанс является возникновение резонанса в нелинейной системе . В нелинейном резонансе поведение системы - резонансные частоты и режимы - зависит от амплитуды из колебаний , в то время как для линейных систем это не зависит от амплитуды. Смешивание мод в нелинейных системах называется резонансным взаимодействием .

Описание

Обычно следует различать два типа резонансов - линейные и нелинейные. С физической точки зрения они определяются тем, совпадает ли внешняя сила с собственной частотой системы (линейный и нелинейный резонанс соответственно). Колебательные моды могут взаимодействовать в резонансном взаимодействии, когда сохраняется как энергия, так и импульс взаимодействующих мод. Сохранение энергии означает, что сумма частот мод должна равняться нулю:

${\ displaystyle \ omega _ {n} = \ omega _ {1} + \ omega _ {2} + \ cdots + \ omega _ {n-1},}$

с возможно разными собственными частотами линейной части некоторого нелинейного уравнения в частных производных . Является волновым вектором , связанным с режимом; целые индексы являются индексами гармоник Фурье - или собственных мод - см. ряды Фурье . Соответственно, условие частотного резонанса эквивалентно диофантову уравнению со многими неизвестными. Проблема нахождения их решений эквивалентна десятой проблеме Гильберта, которая, как доказано, алгоритмически неразрешима. ${\ Displaystyle \ omega _ {я} = \ омега (\ mathbf {k} _ {я}),}$${\ Displaystyle \ mathbf {к} _ {я}}$${\ displaystyle i}$

Основными понятиями и результатами теории нелинейных резонансов являются:

1. Использование дисперсионных соотношений, встречающихся в различных физических приложениях, позволяет находить решения условия частотного резонанса.${\ Displaystyle \ omega = \ omega (\ mathbf {k})}$
2. Набор резонансов для данной дисперсионной функции и формы условий резонанса разбивается на непересекающиеся резонансные кластеры; динамику каждого кластера можно изучать независимо (в соответствующем масштабе времени). Их часто называют «связанными волнами», которые не могут взаимодействовать, в отличие от «свободных волн», которые могут. Известный пример является солитоном из уравнения К : солитоны могут перемещаться друг к другу, без взаимодействия. При разложении на собственные моды высокочастотные моды солитона не взаимодействуют (не удовлетворяют уравнениям резонансного взаимодействия ), они «привязаны» к основной.
3. Каждый набор связанных мод (резонансный кластер) может быть представлен своей NR-диаграммой, которая представляет собой плоский граф специальной структуры. Это представление позволяет однозначно восстановить 3а) динамическую систему, описывающую поведение кластера в зависимости от времени, и 3б) набор его полиномиальных законов сохранения; они являются обобщением констант движения Мэнли – Роу для простейших скоплений ( триад и квартетов).
4. Аналитически решаются динамические системы, описывающие некоторые типы кластеров; это точно решаемые модели .
5. Эти теоретические результаты могут быть использованы непосредственно для описания реальных физических явлений (например, внутрисезонных колебаний в атмосфере Земли) или различных режимов волновой турбулентности в теории волновой турбулентности . Еще много примеров приводится в статье о резонансных взаимодействиях .

Нелинейный резонансный сдвиг

Нелинейные эффекты могут существенно изменить форму резонансных кривых гармонических осцилляторов . Прежде всего, резонансная частота смещается от своего «естественного» значения по формуле ${\ displaystyle \ omega}$${\ displaystyle \ omega _ {0}}$

${\ displaystyle \ omega = \ omega _ {0} + \ kappa A ^ {2},}$

где - амплитуда колебаний, а - константа, определяемая ангармоническими коэффициентами. Во-вторых, искажается форма резонансной кривой ( эффект складывания ). Когда амплитуда (синусоидальной) внешней силы достигает критического значения, возникают нестабильности. Критическое значение дается формулой ${\ displaystyle A}$${\ displaystyle \ kappa}$${\ displaystyle F}$${\ Displaystyle F _ {\ mathrm {crit}}}$

${\ displaystyle F _ {\ mathrm {crit}} = {\ frac {4m ^ {2} \ omega _ {0} ^ {2} \ gamma ^ {3}} {3 {\ sqrt {3}} \ kappa} },}$

где - масса осциллятора, - коэффициент демпфирования. Кроме того, появляются новые резонансы, в которых колебания с частотой, близкой к 1 , возбуждаются внешней силой с частотой, весьма отличной от${\ displaystyle m}$${\ displaystyle \ gamma}$${\ displaystyle \ omega _ {0}}$${\ displaystyle \ omega _ {0}.}$

Нелинейные частотные характеристики

Обобщенные функции частотной характеристики и функции нелинейной выходной частотной характеристики позволяют пользователю принципиальным образом изучать сложное нелинейное поведение в частотной области. Эти функции выявляют резонансные гребни, гармонику , интермодуляцию и эффекты передачи энергии таким образом, чтобы пользователь мог связать эти термины из сложных нелинейных моделей дискретного и непрерывного времени с частотной областью и наоборот.

Смотрите также

• Уравнение Дуффинга
• Волновая турбулентность

Примечания и ссылки

Примечания

Ссылки

• Ландау, Л.Д . ; Лифшиц, EM (1976), Механика (3-е изд.), Pergamon Press, ISBN 0-08-021022-8, (твердая обложка) и ISBN  0-08-029141-4 ( мягкая обложка )
• Rajasekar, S .; Санджуан, MAF (2016), Нелинейные резонансы (1-е изд.), Springer, ISBN 978-3-319-24886-8, (электронная книга)

внешние ссылки

• Элмер, Франц-Йозеф (20 июля 1998 г.), Нелинейный резонанс , Базельский университет , получено 27 октября 2010 г.